走近“數感”

　　摘 要： 義務教育階段的數學教育要面向全體學生，數學教育的目的在于提高學生的數學素養.大多數學生將來不會成為數學家或數學工作者，但每一個學生都應建立一定的數感，這對他們將來的生活和工作都是有價值的。中小學數學教學中培養學生的數感，目的就在于使學生學會數學地思考，學會用數學的方法理解和解釋現實問題。
　　關鍵詞： 初中數學教學 數感 數學素養 創新能力 實踐能力
　　
　　美術有“美感”，音樂有“樂感”，語文、英語有“語感”，數學要有“數感”.所謂數感，狹義地講，是指學生對數的敏感性.它是對數與運算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數學判斷和為理解復雜的問題提出有效的策略.廣義地講，數感既指學生對數值的一種直覺，對數學公式、定理、性質、公理等數學概念的直接反映；又指學生在實際情境中對數和運算概念的感悟和理解，以及運用這些知識的意識.
　　調查表明，我國學生學習具有較強的自我封閉性，普遍注重“純粹”技能技巧的訓練和題型練習，脫離社會生活實際，即使一些數學技能掌握較好的學生面對一些現實的數學問題也常常感到困難.所以培養學生的數感，讓學生知道數學的應用價值，樹立應用意識，形成能夠解決日常生活工作中的數學問題的能力，并通過這一應用過程學會用數學的眼光看社會，從而形成正確的數學態度，顯得尤其重要.
　　新頒發的《義務教育數學課程標準》，第一次明確地把“數感”作為數學學習的內容提出來，這是前所未有的.新課標中有六個核心概念，它們是：數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識、推理能力.“數感”擺在首要的位置，可見讓學生在數學學習過程中建立數感，是新課標十分強調和重視的問題.那么“數感”的重要性體現在哪些方面呢？
　　一、數感的建立是提高每個學生的數學素養的重要標志
　　義務教育階段的數學教育要為每一個學生的發展著想，適應每一個人的需要.作為公民素養之一，數學素養不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的.學生學會數學地思考問題，用數學的方法理解和解釋實際問題，能從現實的情境中看出數學問題，這是數學素養的重要標志.一個小學或初中畢業生，學習了那么多的數學知識，但不會估計一個學校操場大約有多大，不知道如何用最恰當的方式向別人說明自己所在的位置，不能在需要的時候用數學的方式解釋某些現象，能說這個學生的數學素養高嗎？這樣的數學教育能說是成功的數學教育嗎？注重培養學生的數感，正是針對以往的數學教育過分強調單一的知識與技能訓練、忽視數學與現實的聯系、忽視數學的實際運用這種傾向提出來的.
　　1.通過估算，培養數學素養。
　　以學校開展“從我做起、保護環境、愛護地球”活動為例，為增強說服力，教師可以這樣設計問題，要求學生估算解答:“全國的初中學生如果每人每天浪費一小張紙，一年全國初中學生要浪費多少噸紙？要用多少輛卡車運輸？”要求學生對其中的初中學生數、一小張紙有多大多重、一輛卡車能運幾噸等數據都必須做出合理的估計，并在此基礎上進行估算.學生得出：若全國有1.3億初中學生，紙張就算一人一天浪費30克的16開的小紙張，而一輛卡車的載重量為5噸，那么在這些基本數據的基礎上進行計算，真是“不算不知道，一算嚇一跳.”根據題意全國的初中學生一年浪費的紙張達90000噸，要用18000輛卡車才能運完.同時還可以結合題目讓學生談談如何保護環境、愛護地球.這樣的活動在提高了學生的估算能力的基礎上，使學生養成用數學的觀點觀察和認識事物的習慣，并逐步學會把簡單的實際問題表示為數學問題.
　　2.介紹古代記數方法，豐富數學素養。
　　人們可以用不同的方式表示數，抽象的數字符號不是表示數的唯一方式.人類早期對數的認識是從實物、代替物、圖形，逐漸發展為數字符號的，如最初用小石子、樹枝、貝殼之類記數，后來用“結繩記數”，最后產生了數，所以人類的數感也是一個由具體到抽象的過程.數感，使人眼中看到的世界有了量化的意味，當我們遇到可能與數學有關的具體問題時，就能自然地、有意識地與數學聯系起來，或者試圖進一步用數學的觀點和方法來處理解決，即會“數學地”思考.了解古代記數方法的演變過程，可以豐富學生的數學素養.
　　二、數感的建立也是培養學生創新精神與實踐能力的需要
　　數感的建立使學生有更多的機會接觸和體驗現實問題，表達自己對問題的看法，用不同的方式思考和解決問題，這無疑有助于培養學生的創新精神和實踐能力.
　　1.體驗數感，培養動手操作能力。
　　瑞士心理學家皮亞杰說：“學生的思維最初從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就得不到發展；智慧的鮮花是開在手上的.”動手操作活動是學生學習經驗不斷內化、提升的過程，也是學生主動發展的自由天地，注重動手操作的數學課堂將成為學生探索的樂園、創新的搖籃.而數感的作用，讓學生有了操作的方向.
　　如教平行四邊形面積的計算時，回憶矩形的面積計算公式，利用對數學公式的直接反應，引導學生利用紙片、剪刀、直尺等工具把平行四邊形怎樣轉化成已學過的矩形，學生動手操作將剪下的直角三角形從左邊移到右邊，從而既解決了平行四邊形的面積問題，又培養了學生的動手操作能力.因此，“數感”牽引著實際操作，拓寬了知識的范圍.這樣的教學，突破了教學結論的束縛，使學生的實踐能力得到了發展.
　　2.感悟數感，激發學生的創新能力。
　　在數學教學活動中，我們經常發覺，面對同一個數學情境，有些學生迅捷反應，思路清晰；有些學生苦思冥想，姍姍作答.這實際上就是一種獨特的心理結構和思維現象——數學氣質的不同所造成的.前者一開始總是自發或自覺地傾向于通過直接的數學棱鏡去認知數學對象和學習內容，進而成為數學氣質中的精髓——數感.
　　例如：在解決三角形的內角和的定理證明時，有良好數感的人馬上能從“180度”聯想到平角和同旁內角互補，從而為后面的添平行線打下基礎，進而用多種方法解決定理的證明，拓寬思路，提高創新能力.
　　三、數感的培養有助于學生數學地理解和解釋現實問題
　　數學是人們認識社會、認識自然和日常生活的工具.學生學習數學，一方面是為進一步學習打下基礎，另一方面是要學會用數學的方法和數學的觀點認識周圍事物和客觀世界的規律，處理有關的問題.培養學生的數感就是讓學生更多地接觸和理解現實問題，有意識地將現實問題與數量關系建立起聯系.
　　1.理解數的意義，解釋現實問題。
　　數的產生來源于生活，密切聯系學生的生活實際來學習數學，有利于對數的意義的理解.反過來，良好的數感又為理解現實問題服務.在教“負數”時，就可以讓學生說說在生活中什么時候能用到負數？例如：溫度-10℃或-20℃，還有電梯的-1層或-2層，等等，讓學生體會到數學就在我們身邊，學好數學知識，能數學地理解和解釋現實問題.
　　2.運用數的統計方法，解決現實問題。
　　數學是和現實生活聯系最密切的學科之一，許多數學知識都來源于生產、生活實際，又能應用于實際.例如教學《統計》時，結合準備新年聯歡會，教師可以設計這樣一個情節：新年就要到了，我們班要舉行入學以來的第一次新年聯歡會，聯歡會上要給每位同學買一個他最喜歡吃的水果，該買哪些水果呢？每種水果該買多少呢？讓學生討論如何解決這個問題.有的學生說：“誰喜歡吃什么就告訴老師.”有的說：“喜歡吃蘋果的舉手，數一數有幾個，再讓喜歡吃香蕉的舉手，數一數有幾個……”總之，學生已經感到必須在進行調查后作出的決定才能使大多數同學滿意，這就使學生初步感受到統計知識在生活中的應用.學好數的整理能解決生活中碰到的實實在在的問題，體現了數學的應用價值，從而激發學生的求知欲.
　　
　　四、數感的培養有利于學生提出問題和解決問題能力的提高
　　解決問題能力的培養重要的是在具體的問題情境中讓學生去探索、去發現，解決一個問題可能需要一種以上策略，不只是簡單地套用公式解固定的模式化的問題.要使學生學會從現實情境中提出問題，從一個復雜的情境中提出問題，找出數學模型，就需要具備一定的數感.學會將一個生活中的問題轉化成一個數學問題，這種思維方式，與一般的解決書本上現成問題的思維方式有著明顯的差異.學生要在遇到具體問題時，自覺主動地與一定的數學知識和技能建立起聯系，這樣才有可能建構與具體事物相聯系的數學模型.具備一定的數感是完成這類任務的重要條件.
　　1.感受數感，自主探索。
　　著名數學家波利亞曾說：“學習任何知識的最佳途徑是自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中內在的規律、性質和聯系.”在數學教學中，教師要引導學生通過測量建立起良好的數感，讓學生在自主探索的過程中得出結論.如教學“正方形四條邊邊長相等”時，讓學生先進行測量，通過對測量的數據的感受提出問題:正方形的四邊均相等嗎?促使學生自主探究，得出證明方法.這樣，既提出了問題又解決了問題.
　　2.利用數感，變式練習。
　　學生數學能力和思維的培養，都必須以學生的數學知識積累為前提.知識轉化為能力，是一個漸變的過程.完成這一過程一要靠理解，二要靠練習，而數感就是理解與練習程度的指標.數學基礎知識始終在智能發展過程中起著奠基和主導作用，沒有知識，就無法形成數感；反之，數感越健全，知識也就越扎實，而且知識更易活化.因此，課堂教學應在加強基礎知識教學的同時，擴張和加深練習內容，通過科學選題，以必要的訓練作用于學生.比如，在“三角形的內角和”課上，我設計了下面一組變式題：
　　如圖：在ΔABC中，∠A=80°，∠ABC和∠BCA的角平分線相交于點D，求∠BDC的度數?
　　變式：（1）若∠A=40°呢?
　　（2）若∠A=m°呢?
　　（3）把“BD，CD分別平分∠ABC和∠BCA”改成“∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠BCA”呢?那么（2）的結論還會成立嗎?
　　在訓練的時候，有良好數感的學生馬上反應過來，只不過把前面的換成或而已，計算方法，計算思路還是不變.
　　利用數感進行高效的練習，不斷變換角度，緊緊瞄準，突出重點、突破難點，這樣設計的問題能解決一類題，這對訓練學生思維和能力是大有裨益的.反過來，經常將相同、相似和相異的數學內容放在一起，讓學生細心地比比、看看、想想，領悟其中的聯系與差別，在比較中強化感知性、感應性和感受性.
　　3.升華數感，尋找巧解。
　　用不同的方法解答相同的問題，有利于培養學生的發散思維能力.通過比較，在優中選優，可以使同學們的思維更加靈活，從而擺脫思維定勢的限制.但如果具備一定的數感，用敏銳的眼光發現問題的具體特點，直接根據數量之間的關系進行計算，而不拘泥于一般思路，就會迅速地找到巧妙的解法.
　　例如：如圖，已知△ABC的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積.
　　一般解法：
　　（1）△ABC的底為：4＋8＝12（厘米）
　　（2）△ABC的高為：36×2÷12=6（厘米）
　　（3）陰影部分的面積為：4×6÷2=12（平方厘米）
　　巧妙解法：連接三角形ABC的頂點A和底邊BC的三等分點，這樣三角形ABC就被分成了三個小三角形.因為陰影三角總之，數感的培養在數學教育中起著重要的作用，但數感的形成不是靠一朝一夕就能完成的，它是一個潛移默化的過程，需要用較長時間逐步培養.教師要努力鉆研教材，創造性地運用教材所提供的素材巧設教學環節，把幫助學生建立數感作為數學教育的基本目標并落實到具體課堂教學過程中去，目的就在于使學生學會數學地思考，學會用數學方法解決現實問題.
　　
　　參考文獻：
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　　［４］陳亞萍，付茁.數感的含義.價值及其對課程改革的啟示.2007.
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