“基本圖形”的分解\\構造\\變換在中考題中的應用

　　摘 要： 本文主要通過對近年來幾道典型的中考題的詳細剖析，分別介紹了基本圖形的分解、構造、變換的應用方法，目的在于讓學生學會在解題中應用上述方法提高學生的觀察，分析題意，重新構造組合熟悉的基本圖形進行計算和推理的能力。
　　關鍵詞： 基本圖形 分解 構造 變換 中考題
　　
　　直線形、圓形是初中平面幾何的一個主要內容，它們的定義、公理、定理和圖形，是進一步研究直線形、圓形和其他幾何圖形性質的基礎，因此，我們把這些幾何圖形叫做“基本圖形”。在學習直線形性質時，已初步培養了邏輯推理能力。一個幾何命題，由條件（A）和結論（B）兩部分構成。證明一個幾何命題，是從條件A出發，應用基本圖形的性質，推導出一連串過渡結論，從而在此基礎上推出結論B，其基本形式為A→C→D→E→…→B，這里的過渡結論C、D、E、…，都是由一些基本圖形的性質得出的幾何命題。因此，應用基本圖形進行命題轉化的能力，表現出邏輯推理的水平，從而說明要提高邏輯推理能力。特別是近幾年來，中考幾何題突出考查基本圖形和基本元素間的相互關系，考查學生對圖形的分解、組合、變形的能力，需要學生觀察，分析題意，重新構造組合熟悉的基本圖形進行計算和推理等。因此教師在平時的教學中應該讓學生熟練地掌握一些基本圖形及其應用的方法。
　　從一般的經驗來看，有一些重要的例題、習題中常見的圖形，它們雖不是課本中定義、公理、定理的圖形，而是由基本圖形變形得到的，但由于它們在解題中用得較多，亦是研究比較復雜幾何問題的基礎，這些圖形也被當做基本圖形而應用。
　　例如下面是關于梯形的兩個基本圖形：
　　圖1中將一腰AD平移到BE構成△BCE，它含有梯形的兩腰，兩底角、兩底之差。圖2中將一對角線AC平移到BF構成△BDF，它含有梯形的兩條對角線、兩對角線和一底的夾角、兩底之和。這兩個基本圖形由于將梯形的主要元素集中于三角形之中，加強了元素間的聯系，開拓了解題思路，因而應用頗多。像這樣的基本圖形，也是我們要熟練掌握的。在明確了基本圖形的重要作用之后，對于基本圖形的應用，從數學方法考慮，概括為分解、構造、變換三個方面，現逐一加以介紹。
　　一、分解
　　有時一個平面幾何圖形，它的線條縱橫交錯，局部圖形重疊遮蓋，基本圖形如草里藏珠，令人視而不見，思路阻塞。這時，應根據解題的需要，將復雜的圖形進行剖析，并分解出有用的基本圖形，或應用它們的性質，或應用它們的聯系，以便找到正確的解題途徑。由于幾何學是研究幾何圖形性質的學科，因此培養認識幾何圖形，善于把有用的基本圖形分解出來的能力，是一項首要任務。
　　平面幾何證題的基本思路，通俗地講，一是“從已知看可知到未知（求證）”，二是“從未知想需知到已知”。那么如何看可知?告訴我們應從條件圖中看有用的基本圖形；又如何想需知?就是從條件圖中找需要的基本圖形。這里的會看、會找，就是會分解的意識。
　　二、構造
　　研究幾何題，經常需要給圖形添設輔助線，添設輔助線的實質在于構造基本圖形，以便將復雜的問題化簡，將隱蔽的關系明朗化，將分散的元素相對集中，從而找到一種解題途徑。同時，設計基本圖形的構造，有時還需配合使用聯想、代換、轉化等數學思想方法。
　　例：（2006宿遷市中考題）如圖，在?荀ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．
　　（1）試說明：AE⊥BF；
　　（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并予以說明.
　　分析：
　　（1）如圖4，延長BC、AE相交于點P，構造基本圖形等腰三角形ABE，利用三線合一性質可證AP⊥BF；
　　（2）如圖5，延長BC、AE設交于點P，延長AD、BF相交于點O，由兩個基本圖形△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA得比，可知線段DF與CE是相等關系.
　　說明：解題時在一些問題所對應的圖形中，常常缺少基本圖形的某一部分，為了利用它的性質，我們應根據問題的需要構造出基本圖形。例如例題中通過延長BC、AE構造了基本圖形△ODF∽△OAB，從而問題得以證明。
　　三、變換
　　這里所說的變換，是幾何變換的簡稱。平移、旋轉和翻折是幾何變換中的三種基本變換。應用幾何變換解題時，主要是通過運動有關的幾何圖形，改變它們的位置，或將條件與結論相對集中，使它們的聯系明朗化，或在改變圖形的位置后，使條件與結論之間出現新的聯系，從而易于找到一種解題方法。
　　例：（2005無錫市中考題）已知，點P是正方形ABCD內的一點，連PA、PB、PC.
　　（1）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置（如圖6）；①設AB的長為a，PB的長為b（b＜a），求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積；
　　.
　　②連接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而PC=6.
　　（2）利用旋轉變換將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理可證∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上.
　　說明：熟練掌握基本圖形，掌握住變換的條件、變換的性質，把幾何命題中分散的缺乏邏輯性的幾何元素通過變換加以有效集中，就能提高應用幾何變換法解題的能力。
　　以上介紹了基本圖形的分解、構造與變換，這是應用基本圖形的研究直線形、圓形性質的幾種基本方法。從智力訓練的角度來看，它們是重要的創造性思維活動，有利于培養靈活、獨創性等思維品質。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文