探究新課程背景下學生函數解題思維發展的歷程

　　摘 要： 探究新課程背景下學生函數解題思維發展的歷程，實驗從課堂互動模式和練習實踐模式兩方面展開，通過實證性的研究指導教師對教學方法作出科學選擇，希望給一線數學教師提供一些根據學生思維發展的不同水平選擇合適的課堂互動模式，以及練習和實踐方法的策略。
　　關鍵詞： 新課程 函數解題思維 教學選擇
　　
　　一、引言
　　課堂是靈動的，教師是能動的，每一個課堂都與眾不同——教師和學生有著不同的心理狀態，不同知識積累狀態，甚至是不同的物理環境。因此，教師必須充分發揮自己的創造能力，要應情境而變，應學生而變，應自身而變，實現教學的選擇性。
　　我于2011年承擔了上海市黃浦區區級課題《完中高三學生函數解題思維發展歷程研究》的工作。函數是中學數學的必修內容，是構建整個中學數學的主旋律。函數的觀點和思想方法貫穿整個高中代數的全過程，應用于幾何問題的解決，且以其高度的抽象性和數學思想應用的廣泛性成為歷屆高考考查的重點。我從一個高中教師的角度出發，探究新課程背景下學生函數解題思維發展的歷程，希望通過實證性地研究基于某個特殊知識模塊下的學生解題思維發展與教學方式的關系，提供一些參考性意見來影響教師教學行為的選擇。
　　二、試驗研究
　　我將自己任教的上海黃浦區儲能中學的高三年級理科（2）、（3）班作為試驗班開展了相關研究，將理科（1）班和文科（1）班作為試驗參考班進行數據對比。我是在學校高三年級分層編班的基礎上開展這項研究的。理（2）班綜合能力較理（3）班強，但兩班的數學水平相差不多，數學思維相對處于中等偏弱的水平，便于開展解題思維發展的試驗研究。理（1）是尖子班，可作為試驗參考；文（1）的水平較理（2）稍強，也可作為試驗對比。
　?。ㄒ唬┎煌n堂互動模式下學生函數解題思維發展的歷程探究
　　師生互動，是素質教育和新課程改革的重點內容，是課堂教學的重要方法之一。2011年3月25日我在儲能中學高三的理（1）、（2）、（3）及文（1）班開展了一項調查研究問卷。
　　其中第一問為：
　　你能接受的函數復習課的講授方式？（）
　　A.老師把所有的步驟、思路都講出來（）
　　B.老師提示，學生上黑板做并在筆記本上做（）
　　C.讓學生課堂上探究一題多解（）
　　D.講授過程中能穿插相關幽默話題（）
　　數據整理：
　　通過調查數據分析：
　　思維水平越低的學生越希望課堂是以教師講解為導向的，通常這樣的課堂常常被描述為機械學習或被動學習，但事實上是不同的。這部分學生所希望的課堂是需要互動的，他們需要教師用幽默話題激發他們的興趣，使他們在大笑之余，牢牢地記住知識并產生進行練習的主觀愿望。前蘇聯著名教育家蘇霍姆林斯基曾說：“教師的語言修養在很大程度上決定著學生在課堂上的腦力勞動的效率?！?br/>　　對數學比較感興趣的理科學生更愿意在協商與合作的互動平臺，形成一個探究共同體，圍繞共同的探究目標質疑、交流，而這幾乎不涉及思維程度的高低差異，他們都對在課堂上探究一題多解樂此不疲。文科生這方面意愿則明顯較弱。這項調查表明對數學學習有強烈興趣的學生無論其基礎如何，都是比較能夠接受小組合作，共同深入探究某一問題這類課堂互動模式的。當同學們交流了他們的發現和解釋，并傾聽到其他人對這些信息的解釋或推論時，他們將會被刺激、被引導著去反思自我，接受其他人的建設性批評，或對這些批評做出反應。
　　調查研究問卷的第七問為：
　　你覺得以下教學方法能提高你的函數解題思維能力嗎？（）
　　A.鼓勵學生積極提出問題、回答問題，充分闡明自己的觀點，暴露其思維過程，如果思路正確，則給予肯定與表揚；如果思維有誤，則抓住癥結，激勵其他學生共同診斷，把題目講清、講透（ ）
　　B.課堂上教師指定某一學生一問一答，一說一寫（ ）
　　C.一點一滴地“啟發”學生：看到這個條件，能想到什么結論；要證明這個結論，需要什么條件，等等（ ）
　　D.把問題歸結為一種一種的類型，然后非常詳盡地把每一種類型題目所對應的解題方法傳授給學生，讓學生記住這些解題方法并“對號入座”地解題，然后進行反復操練（ ）
　　數據整理：
　　通過調查數據分析：（這項數據可以說是對上一組數據分析結果的進一步論證）
　　思維層次較高的學生和那些雖然思維層次不高甚至較弱的學生但對數學問題很感興趣（愿意選擇C）的學生還是比較愿意接受目前上海比較流行的聚焦型特點的互動模式的——即課堂上教師通過一系列開放性的誘導提問，鼓勵學生關注學習對象的關鍵方面，表達他們自己的解釋。當學生遇到困難時，教師轉問其他同學，直到得到理想的答案。
　　文（1）班的數據說明了對于思維層次不是很高且對數學問題并不是那么感興趣的學生（選C的意愿不強烈）用這種聚焦型的互動模式就未必有效了。面對這樣的學生首先要解決的還是興趣問題，前面提到的幽默互動應擺在第一位，激發了學生興趣以后，再簡單互動一下即可，即教師通過一系列簡單的導向性提問，把學生引向教師期望的答案。這樣給學生的任務簡單，學生也比較容易產生成功感，對數學學習熱情也會慢慢高漲，教師等到學生的思維水平提高了，學習興趣增強了以后，聚焦式互動就可以用上了。
　　（二）不同練習和實踐模式下學生的函數解題思維發展的歷程探究
　　習是學的一個必要部分。學生掌握知識有一個逐步深化的過程，懂了不一定會做，會做了還不一定有創造性。所以教師要提供素材、情境、條件和提出要求，讓他們獨立探索，克服困難完成練習，以發展思維。2010年12月10日我做了函數解題思維發展研究調查測試，以下以試驗班理（2）、理（3）班中的好中差三個學生測試情況為例進行說明：
　　函數解題思維發展研究調查測試（試題見附錄）
　　分析測試數據，從測試五及補充題的解答可以發現，優等生解答綜合題無需拆分（從補充題中得到提示）就能一步到位成功解答；中等生在分解小題（補充題）中會錯的項目在綜合題解答時相關的那一小問也會出現問題，但分解小題中不錯的項目在綜合題解答相關問題時也不會錯；思維水平較差的學生即使分解小題中正確的項目，在遇到綜合題相關的小問時，因缺乏信心，以及對自己的不正確認識，還是容易再犯錯。陳佳同學在測試五及補充題中體現出的不能正確認識自己的思維方式在前面的測試中一樣能找到答案：比如她在問題1中選了基本可以做到，但立即在測試1的反饋中卻是不能做到。在問題2中陳佳同學錯誤回答了測試2，卻僅僅填寫了需要再努力加強逆向思維，而優等生正確回答了測試2，都認為自己很有必要加強逆向思維。不僅后進生容易不正確認識自己的學習水平，中等生也容易犯這個錯誤，比如測試3′中，中等生認為自己會的東西在測試時卻犯了錯，再次驗證了前面提到的即使懂了也未必會做這個道理。
　　隨后我將兩個班的學生的測試成績按照好、中、差進行了分類訪談，希望能找到合理的練習方法，為發展學生的思維提供一些策略。
　　師問：你認為以下關于函數解題的訓練方法對你有效嗎？哪些是適合你函數解題發展的？
　?。?）教師將做過的函數題重新排列組合給學生小反饋練習（）
　?。?）不定期默寫三角恒等公式（）
　?。?）讓學生整理函數解題錯題集（）
　?。?）布置大量的函數解題回家作業（）
　?。?）到老師辦公室重做講過的練習（）
　?。?）結合學生的差異，可以不同學生布置難度有區分度的作業（）
　?。?）讓學生自己選擇一到兩本參考練習（）
　　
　　（8）問題情境式作業（）
　?。?）整張試卷訂正（）
　　數據分析：
　　大部分學生都不太愿意進行簡單重復性的訓練，他們更傾向于帶點變化的重新排列組合的小反饋練習。因此，教師在選擇練習題的時候要多動腦筋，盡量避免讓學生進行大量簡單重復性操練。在編排訓練題時要抓住重點，有選擇，有變化，讓學生有種似曾相識，但又不太一樣的感覺。
　　在整理錯題集，以及對課外參考練習的選擇上，不同程度的學生都有需求，思維層次高一點的學生這方面需求更迫切一些。所以教師在練習和實踐中應多考慮讓學生整理錯題集，并為他們介紹一到兩本好的參考練習，讓學生自己選擇，減少每天的作業布置量。從試驗數據（4）問的回答可以看到大部分學生反感每天大量的規定的回家作業，寧可自己選擇適合的參考練習進行訓練。所以教師只要不定期地堅持檢查他們參考練習的完成情況即可。
　　問題情境式作業很受思維層次較高，以及較低的同學歡迎，中等生對此反應平平。經過訪談發現思維層次較高的同學希望的情境是比較復雜且具有一定挑戰性的問題，而思維層次較低的學生希望的情境是能與他們生活相關，激發學習興趣的簡單問題。因此，教師在布置分層作業時應對這方面情況予以考慮。從研究數據可以發現有區分度的作業布置在同學當中還是比較受歡迎的。
　　三、教師教學行為選擇與學生思維習慣的養成
　　從試驗出發，我對自己的課堂教學與練習設計方案不斷修正，在理（2）班以中等偏優的學生為主設計教學方案，理（3）班以中等偏差的學生為主設計教學方案。現在延用前面提及的試驗案例進行說明：徐武彬為(3)班的中等生，周敏捷與陳佳分別為（2）班的中上生和后進生。由于后兩位同學均在（2）班上課，陳佳同學對于適應（2）班的教學還是有一定困難，我只能從練習與實踐方面對癥下藥，給予她適當的訓練。從以下的成績跟蹤圖可以發現陳佳同學有效果，但還不穩定，其他兩位同學的學習效果不錯。
　　我們可以看到在新課程背景下教師的教學方式的選擇與學生思維習慣的養成具有很大的關聯?，F在我們還是會看到很多一線教師尤其是畢業班教師大量機械地訓練學生，雖然短時間內是能看到不少成績，但學生的思維并沒有得到真正意義上的發展，從前面的數據中我們可以看到往往中等偏下的一部分學生還是很熱衷于重做的，這可能是長久以來形成的一種錯誤的學習習慣，而優等生卻無人選擇這一項。所以要養成學生好的思維習慣，需要教師對教學方法作出科學選擇，即根據學生思維發展的不同水平選擇合適的課堂互動模式，以及練習和實踐方法。本研究提供的幾種參考性策略大致可總結如下。
　?。ㄒ唬┱n堂模式的選擇性使用
　　1.以教師講解為主但必須摻雜幽默互動元素以激發學生的學習熱情的導向性課堂。是比較適用于數學思維水平較低，以及對數學學習熱情不高的學生。幽默不是油腔滑調，也不是嘲笑或諷刺。教師想讓課堂氣氛活躍并吸引思維水平偏差或積極性較低的學生的注意力，幽默互動必不可少。
　　2.對數學學習有熱情，無論其思維水平高低都可適用于聚焦型的課堂互動模式。該模式讓全班同學集中一下，給小組和個人一些機會，以自己想到的各種各樣的方式，來展示他們的探究工作。當某個小組或某個發言人解釋、闡明、澄清或為自己的發現進行辯護時，就會促使學生們建構起更深層次的理解。
　　（二）練習與實踐模式的選擇性使用
　　1.帶有變化的重新排列組合的小反饋練習對學生學習的鞏固與提高有一定幫助。無論思維水平高低基本都能接受。切忌盲目大量地機械性訓練。
　　2.讓學生整理錯題集比題海戰術有效。
　　3.給思維層次高、中檔的學生提供一到兩本課外參考書，讓學生自主選擇去做，這一點比較受學生歡迎。
　　4.布置作業應有一定的區分度，對思維層次高與低的兩類學生提供不同的情境式作業，以幫助他們各自的思維在最近發展區得到最大限度的發展。
　　可以這樣說，新課程改革中沒有最好的教學方法，只有最合適的教學方法。
　　
　　參考文獻：
　　［1］范良火，黃毅英，蔡金法，李士奇等.華人如何學習數學［M］.江蘇教育出版社，2005.1.
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”