圖像采樣系統中常用的數學變換與矩陣

　　摘 要： 在數字圖像處理中，為實現圖像處理中的多方向分析，教師常通過頻域變換和采樣系統進行處理。本文針對圖像采樣系統中的常用變換和采樣操作進行了分析和介紹，為進一步設計多方向濾波器組提供了理論依據。
　　關鍵詞： 幺模矩陣 圖像采樣系統 數學變換與矩陣
　　
　　在信息技術教學過程中，離不開對數字信號的處理，由于圖像具有更豐富的信息量，在信息處理中得到了廣泛的關注。隨著對圖像方向性處理要求的提高，為了能夠更加多方向地靈活處理圖像，Bamgerger和Smith提出了多方向濾波器組（Directional Filter Bank，DFB）［１］，由于DFB在圖像處理中的多方向特性，近年來吸引了諸多研究者對方向性濾波器組設計的研究，而這些研究應用的核心離不開對二維圖像的變換、濾波和采樣操作。文中對圖像處理中的傅里葉變換、z變換、采樣矩陣、采樣操作及濾波器和采樣操作之間的等效關系進行了概述和總結。
　　一、二維Fourier變換及z變換
　　設t=［t，t］，Ω=［Ω，Ω］，對于二維的連續信號x（t），其連續時間Fourier變換為X（Ω）：
　　X（Ω）=?蘩x（t）edt（1）
　　同理，n=［n，n］ω=［ω，ω］，對于數字圖像而言為二維的離散信號x［n］，其離散時間Fourier變換X（ω）為：
　　X（ω）=x［n］e（2）
　　其中￥表示所有2×1的整數向量集。而其z變換X（z）可以表示為：
　　X（z）=x［n］z（3）
　　其中z=（z，z）z=zzn=（n，n）。
　　二、二維抽樣矩陣
　　在利用濾波器完成圖像變換的過程中，涉及一些基本矩陣，現分別定義如下：
　　1.抽樣矩陣：一個所有元素均為整數的方陣，矩陣對應行列式的值為非0。矩陣的維數等于所要操作信號的維數。
　　2.整數對角矩陣：所有元素值為2n（n為正整數）的對角矩陣。
　　3.五株抽樣矩陣（Quincunx Sampling Matrix）：一種所有元素值為±1且對應的行列式的值為2的抽樣矩陣。以下是常用的五株抽樣矩陣：
　　Q=1 -11 1，Q=11-11 ，Q=-1111 ，Q=-1-11-1，Q=-1 1-1 -1，Q=1-1-1-1。（4）
　　通過五株抽樣矩陣Q和Q抽樣后的格分別如圖1所示［２］。從結果可以看出，抽樣后樣本數目變成了抽樣前的一半，并且抽樣后信號相比輸入信號旋轉了±45°。
　　白點：Q抽樣結果。黑點：Q抽樣結果
　　4.幺模矩陣（Unimodular Matrix）：對應的行列式的值為±1的整數矩陣。幺模矩陣的逆矩陣也是幺模矩陣。以下常用的四個幺模矩陣：
　　R=1 10 1R=1-101R=1011R=10-11（5）
　　信號通過幺模矩陣抽樣前后樣本數目沒有變化，只是對樣本點進行旋轉和重新排列。
　　史密斯形式可以對抽樣操作分步進行，簡化抽樣操作。任何一個二維整數矩陣M都可以分解成如下結構：M=UΛV。其中U和V是幺模矩陣，Λ是一個整數對角矩陣。如：
　　Q=RDR=RDRQ=RDR=RDR（6）
　　其中D=2 00 1，D=1002為對角整數矩陣。
　　三、二維采樣操作
　　1.格（Lattice）
　　由二維整數矩陣M產生的格用LAT（M）表示，即LAT（M）={t:t=Mn，n∈￥}，M為采樣矩陣。接下來所介紹的抽樣和插值都是在格上進行的操作［２］。
　　2.下采樣（Downsampling）
　　二維M下采樣也叫抽樣，如圖2（a）所示。設輸入信號x（n），輸出信號y（n），其對應的時域及頻域關系如下：
　　y（n）=x（Mn）
　　Y（ω）= X（M（ω-2πk））（7）
　　其中，￥（M）是￥（Mx）的整數向量集，x∈［0，1）。矩陣M=（M）產生LAT（M）的互易點陣。抽樣后的樣本數目是抽樣前的1/det|M|。k稱為陪集矢量，由M決定。經抽樣操作，會產生頻率混疊現象。
　　3.上采樣（Upsampling）
　　二維M上采樣也稱為插值，如圖2（b）所示。設輸入信號x（n），輸出信號y（n），其對應的時域及頻域關系如下：
　　y（n）=x（Mn）， n∈LAT（M） 0， otherwise（8）
　　Y（ω）=x（Mn）e=x（m）e=X（Mω）（9）
　　Y（z）=X（z）（10）
　　4.Nobel等效
　　根據Nobel等效［３］，在圖像處理中濾波器和抽樣之間可以進行順序變換，如圖3所示采樣和濾波器偶順序不同但是輸出結果等效。
　　在圖像的多方向濾波器組的設計中，我們可根據需要進行圖像變換，再通過抽樣和插值等操作完成圖像信息的方向旋轉和逆旋轉，從而實現對圖像中紋理信息的多方向性分析。上述變換和理論是實現圖像多方向分析的研究數學基礎，逐漸得到了廣大圖像處理研究者的關注。
　　
　　參考文獻：
　　［1］Bamberger R H and Smith M J T. A filter bank for the directional decomposition of images:theory and design［J］.IEEE Trans. on Signal Processing， Apr.1992，40（7）:882-893.
　　［2］Hong P S. Octave Directional Decompositions ［D］.Ph.D. Thesis，School of Electrical and Computer Engineering Georgia Institute of Technology，2005.
　　［3］Park S.New Directional Filter Banks and Their Applications in Image Processing ［D］.PhD. thesis，School of Electrical and Computer Engineering Georgia Institute of Technology，1999.
　　［4］Gyaourova A，Kamath C，and Fodor I K.Undecimated Wavelet Transforms for Image De-Noising［R］.LLNL Technical report， 2002.
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”