一
二次根式運(yùn)算學(xué)生之所以感覺難學(xué),知識(shí)點(diǎn)較多是一個(gè)原因,但更重要的是學(xué)生對(duì)概念理解含糊,知識(shí)運(yùn)用不夠靈活,特別是對(duì)二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍思路不明確。如:1.a≥0是為二次根式的前提條件,,,,(x≥1)是二次根式,但,都不是二次根式。2.判斷一個(gè)式子是否為二次根式,不要將式子“化簡(jiǎn)”,如是二次根式,不能因?yàn)?2而錯(cuò)誤地判斷是整式。3.二次根式有兩個(gè)要素:①含有二次根號(hào)“”;②被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式,它們必須是非負(fù)的,否則沒有意義。4.式的劃分與數(shù)的劃分依據(jù)不同。式的劃分是對(duì)形式的劃分,即劃分前不需要對(duì)其“化簡(jiǎn)”,例如雖然等于6,但它是二次根式。同理是分式而不是整式。數(shù)的劃分是結(jié)果的劃分,即劃分前需要對(duì)它“化簡(jiǎn)”,例如是整數(shù),而不是分?jǐn)?shù)。5.必須明確,當(dāng)a≥0時(shí),有意義,是二次根式;當(dāng)a<0時(shí),沒有意義,不是二次根式,所以確定被開方數(shù)中字母的取值范圍時(shí),可根據(jù)形如的式子有意義或無意義的條件,列出不等式,然后解不等式。6.當(dāng)被開方數(shù)是分式時(shí),分母不能為零。分式的分母中不能含有根號(hào)。
二
對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn),培養(yǎng)學(xué)生分類的數(shù)學(xué)思想,必須從以下幾個(gè)方面理解、掌握、運(yùn)用。
1.二次根式的特性
當(dāng)a>0時(shí),表示a的算術(shù)平方根,因此>0;當(dāng)a=0時(shí),表示0的算術(shù)平方根,因此=0,這就是說,(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)。
2.()的運(yùn)算
()=a(a≥0)
在理解這一運(yùn)算過程時(shí)應(yīng)注意:(1)()=a中的a必須大于或等于0.如果a<0,則上述等式不成立。例如:()≠-2,因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義,因此也就不可能等于-2.(2)()=a(a≥0)的理解要從平方根的定義出發(fā),表示的是非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方等于a.
3.a的算術(shù)平方根
一般的,根據(jù)算術(shù)平方根的意義:
=a(a≥0)
事實(shí)上=|a|,當(dāng)a≥0時(shí),=a;當(dāng)a<0時(shí),|a|=-a.注意當(dāng)a=0時(shí),=0.這就是a的算術(shù)平方根的性質(zhì)公式,它是化簡(jiǎn)形如的二次根式的依據(jù)。=|a|后,要對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行分類討論。
4.()=a(a≥0)與=a(a≥0)的區(qū)別
(1)兩個(gè)公式的意義不同
①公式()=a(a