化斜為直巧解斜三角形

　　在初中數學綜合復習中，通過各地近幾年的中考試題，綜合題中出現了一些關于解斜三角形的數學問題，而解這類問題的關鍵是轉化斜三角形。轉化的主要手段是運用“化斜為直”的數學思想方法，即在斜三角形中仔細觀察圖形的特征，通過作輔助線把斜三角形恰當地構造出直角三角形。涉及到特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中，再利用勾股定理和三角函數解直角三角形知識即可解決。斜三角形或不規則四邊形可化歸為直角三角形，應用解直角三角形的知識來解決。試舉下面兩道例題:
　　例1：已知：如圖1，△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，點D是BC的中點，求∠DAC的正弦值。
　　探究過程：通過已知條件和圖形可知∠DAC在斜三角形△DAC中，要想求∠DAC的正弦值，須將∠DAC放在直角三角形中，在直角三角形中計算出∠DAC所對的邊和斜邊或對邊和斜邊得比值。而直角三角形中的邊邊關系、角角關系、邊角關系是解直角三角形的依據，它們只有在直角三角形中才成立，因此要想用它們來解斜三角形，必須把斜三角形轉化為直角三角形，轉化的方法一般是作高的輔助線，如圖2可以作DE⊥AC于E，才能使特殊的角∠DAC放在直角三角形中，這樣構造成了Rt△AEC，令AB＝CB＝a，D為中點，所以DE＝sin∠C，AD＝AB+BD=a，得出AD，進而求出sin∠DAC=。
　　解題過程：設AB＝CB＝a，過D作DE⊥AC于E，垂足為E
　　∵D為CB中點
　　∴DC=
　　∵在Rt△AEC中∠C=45°
　　∴DE＝sin45°＝a
　　又∵在Rt△ABD中，AD＝AB+BD＝a+()=a
　　∴AD=a
　　∴sin∠DAC==
　　例2：如圖3，在△ABC中，∠A=30°，E為AC上一點，且AE∶EC=1∶3，EF⊥AB于F，求tan∠CFB。
　　探究過程：通過已知條件和圖形可知∠CFB。在斜三角形CFB中，要想求tan∠CFB值，須將∠CFB這個特殊的角放在直角三角形中求出DC與DF，或者在另外的直角三角形找出與∠CFB相等的角，根據題目已知條件找不到與∠CFB相等的角，這就需要構造∠CFB所在的直角三角形，如圖4，通過點C作CD⊥AB于D，構造了兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△CFD。
　　只需求出DC和FD，令AE＝a，EC=3a，AC=4a，DC=ACsin∠A=2a，AD=ACcos∠A=2a，AF=AEcos∠A=a，計算得出DF=AD-AF=a，進而求出tan∠CFB=值。同樣方法求出DC，也可以在Rt△ADC中利用勾股定理求得DF，或利用EF∥DC，有=，得出DF，即可求出tan∠CFB=值。
　　解題過程：設AE＝a，則EC=3a，AC=4a，過點C作CD⊥AB于D。
　　∵在Rt△ADC中∠A=30°
　　∴DC=ACsin∠A=4a sin30°=2a，
　　AD=ACcos∠A=4a cos30°=2a
　　又∵在Rt△AEF中∠A=30°，AE＝a
　　∴AF=AEcos∠A=a cos30°=a
　　∴DF=AD-AF=2a-a=a
　　∴tan∠CFB==
　　探究評析：通過以上兩例求斜三角形中角的三角函數，發現“化斜為直”是運用解直角三角形的知識解斜三角形的根本方法，其做法是通過作斜三角形的一條高，把斜三角形構造為直角三角形，再根據條件分別在直角三角形中做文章。如果在已知條件中沒有給定線段的具體值時往往設某一線段為常數，計算起來比較簡單，就會收到化難為易、事半功倍的效果。