再探圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)

　　摘要：圓錐曲線是是平面解析幾何的重要曲線，有極其豐富、優(yōu)美的性質(zhì)。圓錐曲線的切線的相關(guān)性質(zhì)已成為高考命題內(nèi)容的重要來源。本文從研究圓錐曲線的性質(zhì)出發(fā)，對一個(gè)圓錐曲線的切線性質(zhì)進(jìn)行推廣，并運(yùn)用所得的推廣定理解決一類有關(guān)的試題。
　　關(guān)鍵詞：原性質(zhì)；推廣；應(yīng)用
　　
　　 圓錐曲線一直是高考的重點(diǎn)章節(jié)，近幾年出現(xiàn)了不少以圓錐曲線的性質(zhì)為背景的題目，筆者通過一個(gè)圓錐性質(zhì)的引入，繼續(xù)推廣圓錐曲線的性質(zhì)并加以運(yùn)用。
　　一、原性質(zhì)
　　定理Ⅰ動(dòng)直線l與拋物線y2=2px（pφ0）相交于M、N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M、N分別引拋物線的兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)在定直線x=m（yφ，yπ-（mφ0）上的充要條件是動(dòng)直線l過定點(diǎn)A（-m，0）。
　　定理Ⅱ動(dòng)直線l與橢圓+=1（aφbφ0）相交于M、N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M、N分別引橢圓的兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)在定直線x=m（yφ，yπ-（aφbφ0）上的充要條件是動(dòng)直線l過定點(diǎn)A（，0）。
　　定理Ⅲ動(dòng)直線l與雙曲線-=1（aφ0，bφ0）相交于M、N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M、N分別引雙曲線的兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)在定直線x=m（yφ，yπ-（mφa）上的充要條件是動(dòng)直線l過定點(diǎn)A（，0）。
　　二、推廣
　　如果把定理Ⅰ中的定理A（-m，0）與定理Ⅱ、Ⅲ中的定點(diǎn)A（，0）分別推廣為定點(diǎn)A（-m，-n）與定點(diǎn)A（，），那么兩條切線的交點(diǎn)是否在某定直線上？
　　對于拋物線y2=2px（pφ0），設(shè)兩條切線的交點(diǎn)P（x0，y0），則切點(diǎn)弦MN所在的直線l的方程為y0y=p（x+x0）①。又由直線l過定點(diǎn)A（-m，-n），得-ny0=p（-m+x0），即p（x0-m）+ny0=0。這表明點(diǎn)P（x0，y0）在定直線上p（x-m）+ny=0。把此直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x得y2+2ny-2pm=0。當(dāng)Δ=4n2+8mp=4（n2+2pmφ）0，即n2+2pmφ0時(shí)，此定直線與拋物線相交，點(diǎn)P（x0，y0）只能在此直線位于拋物線含焦點(diǎn)的區(qū)域外的部分，即在定直線p（x-m）+ny=0（yφ-n+，yπ-n-）（n2+2pmφ0）②上。反之，若點(diǎn)P（x0，y0）在定直線②上，則有p（x0-m）+ny0=0即px0=pm-ny0代入①得直線l的方程為y0y=px+pm-ny0，即y0（y+n）=p（x+m）。這表明動(dòng)直線l過定點(diǎn)A（-m，-n）。由此得定理Ⅰ的推廣。
　　定理Ⅰ' 動(dòng)直線l與拋物線y2=2px（pφ0）相交于M、N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M、N分別引拋物線的兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)在定直線p（x-m）+ny=0（yφ-n+，yφ-n-）（n2+2pmφ0）上的充要條件是動(dòng)直線l過定點(diǎn)A（-m，-n）。
　　對于橢圓-=1（aφbφ0），設(shè)兩條切線的交點(diǎn)為P（x0，y0），則切點(diǎn)弦MN所在的直線l的方程為+=1③。又由直線l過定點(diǎn)A（，），得+=1，這表明點(diǎn)P（x0，y0）在定直線上+=1上。把此直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得（a2n2+b2m2）y2-2b2m2ny+b2n2（m2-a2）=0。
　　當(dāng)Δ=4b4m4n2-4（a2n2+b2m2）?b2n2（m2-a2）
　　=4a2b2n2（a2n2+b2m2-m2n2）φ0。
　　即+φ1時(shí)，此定直線與橢圓相交，點(diǎn)P（x0，y0）只能在此直線位于橢圓外的部分，即在定直線+=1（yφ或yπ