例談柯西不等式在不等式證明中的應用

　　摘要：本文著重探討柯西不等式在不等式證明中的應用。
　　關鍵詞：柯西不等式； 證明；應用
　　
　　不等式證明是不等式教學中的一個難點，也是數學教學的一個重點。除了常規的比較法、分析法、綜合法、配方法、數學歸納法等，使用一些重要的不等式也是我們證明不等式的重要手段。本文通過例題介紹Cauchy不等式在不等式證明中的應用。
　　Cauchy不等式：已知x1、x2……xn與y1、y2……yn都是實數，且y1、y2……yn≠0，則有（x12、x22+……+xn2)(y12、y22+……+yn2)≥（x1y1+x2y2+……+xnyn）2，并且在==……時，上式取等號。
　　例1求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
　　簡證：由Cauchy不等式得（a2+b2+c2）（b2+c2+a2）≥(ab+bc+ca)2，即（a2+b2+c2）2≥(ab+bc+ca)2，∴（a2+b2+c2）≥ab+bc+ca.
　　 例2求證：++≥a+b+c，其中a+b+c∈R+.
　　簡證：∵a+b+c∈R+，由Cauchy不等式得[()2]+[()2]+[()2][（）2+（）2+（）2]≥(a+b+c)2，即++(a+b+c)≥(a+b+c)2，又a+b+c∈R+
　　 ， ∴++≥a+b+c.
　　 例3求y=asinx+bcosx的極值。
　　 簡解：由Cauchy不等式得y2=（asinx+bcosx）2≤（a2+b2）（sin2x+cos2x）=a2+b2，
　　∴y2=a2+b2 ，即-≤y≤，
　　當=，即 tanx=，x=arctan+kπ
　　（k∈Z）時，y取得極值。
　　 例4 求證：≤（n∈N+）.
　　 簡證：由Cauchy不等式得（++…+）2≤（1+2+…n）（1+1+…+1）=n，兩邊開方整理即得。
　　 例5已知sin2α+sin2β+sin2