因式分解的常見應用

　　因式分解是初中數學中極為重要的知識，也是學習解一元二次方程、一元二次不等式等知識的基礎。它在數學中有著廣泛的應用。根據題目的特點，靈活運用因式分解，可以提高解題速度。本文就其常見的應用，結合實例進行歸納與探討。
　　1. 利用因式分解求代數式的值
　　例1若n為正整數，并且|a-b+1|＋（c+d+2008）2=0。求2d（a-b）2n-1+(c-d)（a-b）2n-1的值。
　　解：由非負數的性質知a-b=-1，c+d=-2008。
　　又∵n為正整數，
　　∴2n-1為奇數。
　　∵2d（a-b）2n-1+（c-d）（a-b）2n-1=（a-b）2n-1（2d+c-d）=（a-b）2n-1（c+d）=（-1）2n-1×（-2008）=2008。
　　例2若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值。
　　解：將兩方程相加，得（x+y）2+（x+y）=42。
　　于是（x+y-6）（x+y+7）=0，
　　所以x+y=6或者x+y=-7。
　　2. 利用因式分解求最值
　　例3設x、y都是正整數，且使+=y，求y的最大值。
　　解：∵x、y均為正整數，
　　=m與也均為非負整數，
　　∴設=m，=n(m、n為非負整數，且m　　于是有x-116=m2………………①
　　 x+100=n2………………②
　　②-①，得n2-m2=216，
　　即（n-m）（n+m）=23×33。
　　∵y=m+n，要求y的最大值，即要求m+n的最大值，
　　又∵n-m與n+m具有相同的奇偶性，
　　∴m+n的最大值為23×33=108，即y的最大值為108。
　　3. 利用因式分解化簡代數式
　　例4若a2+4ab+4b2-1=0，化簡a3+2a2b+a2。
　　解：由已知得（a+2b）2=1，∴a+2b±1。
　　∴a+2b=1時，a3+2a2b+a2=a2（a+2b+1）=2a2。
　　 a+2b=-1時，a3+2a2b+a2=a2（a+2b+1）=0。
　　4. 利用因式分解證明代數恒等式
　　例5求證：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2。
　　解：左邊=（a2+b2+2ab）+（ac+2bc）+c2
　　 =（a+b）2+2c（a+b）+c2
　　 =（a+b+c）2=右邊。
　　5. 利用因式分解證明代數不等式
　　例6已知a、b、c為△ABC的三條邊長，求證：a2+b2-c2-
　　2ab<0。
　　證明：∵a2+b2-c2-2ab =（a-b）2-c2=(a-b-c)(a-b