排列組合問(wèn)題的解題技巧

　　摘要：排列組合問(wèn)題題型多樣，思路靈活，不易掌握，既有一般的規(guī)律，又有較多解題技巧。實(shí)踐證明，它要求我們要認(rèn)真地審題，對(duì)題目中的信息進(jìn)行科學(xué)地加工處理， 解決問(wèn)題的有效方法是總結(jié)解題規(guī)律，掌握若干技巧，最終達(dá)到靈活運(yùn)用。
　　關(guān)鍵詞：排列；組合；解題；技巧
　　
　　排列組合問(wèn)題題型多樣，解法靈活，解題過(guò)程極易出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯(cuò)誤，所以解題時(shí)要注意不斷積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題規(guī)律，掌握解題技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面，我們就介紹幾種常用的解題技巧。
　　一、合理分類與準(zhǔn)確分步法
　　 解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清晰，不重不漏。
　　例1用紅、黃、藍(lán)、綠、黑5種顏色給（如圖1）a、b、c、d的四個(gè)區(qū)域染色，若相鄰的區(qū)域不能用相同的顏色，試問(wèn)不同的染色方法有多少種？
　　解析1：整體分類，局部分步。
　　（1）a、d不同色，即用4種顏色給a、b、c、d四個(gè)區(qū)域染色有A45種方法； （2）a、d同色，即用3種顏色給a、b、c、d四個(gè)區(qū)域染色有A35種方法。 所以不同的染色方法共有A45+A35=180種。
　　解析2：整體分步，局部分類。
　　按“a→b→c→d”的順序給四個(gè)區(qū)域染色，第一步給a區(qū)域染色有5種方法，第二步給b區(qū)域染色有4種方法，第三步給c區(qū)域染色有3種方法，第四步給d區(qū)域染色應(yīng)分兩類：①a、d 不同色時(shí)，d區(qū)域有2種染色方法；②a、d同色時(shí)，d區(qū)域有1種染色方法。
　　所以不同的染色方法共有5×4×3×（2+1）=180種。
　　二、特殊元素（或位置）“優(yōu)先安排法”
　　對(duì)于特殊元素的排列組合問(wèn)題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排，針對(duì)具體問(wèn)題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。
　　例2一生產(chǎn)過(guò)程有4道工序，每道工序需要安排1人照看。現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙2名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙2名工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ）。
　　A．24種B．36種
　　C．48種D．72種
　　解析1：“特殊位置優(yōu)先”。
　　（1）第一道工序是乙，第四道工序是甲或丙，則不同的安排方案有2A24種；
　　（2）第一道工序是甲，第四道工序是丙，則不同的安排方案有A24種。
　　所以一共有2A24+A24=36種。
　　三、相鄰元素“捆綁法”
　　解決某幾個(gè)元素相鄰問(wèn)題時(shí)，先“捆綁”再整體考慮，即將相鄰元素視作“一個(gè)”元素，再與其他元素一起排列，同時(shí)要注意“捆綁”元素內(nèi)部的排列。
　　例38人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法？
　　解析：先把這3個(gè)人（相鄰元素）“捆綁”在一起，看做1個(gè)人，有A22種排法，再與其余5個(gè)人排成一排，有A66種排法，所以一共有A22A66=1 440種排法。
　　四、不相鄰元素“插空法”
　　元素不相鄰問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排列，再把不相鄰元素插入中間或兩端。
　　例4排一張有8個(gè)節(jié)目的演出表，其中有3個(gè)小品，要求小品不能排在第一位，也不能有兩個(gè)小品排在一起，有多少種排法？
　　解析：先排5個(gè)非小品（無(wú)要求的元素）的節(jié)目，有A55種排法，它們之間以及最后一個(gè)節(jié)目之后一共有5個(gè)空位，將3個(gè)小品（要求不相鄰的元素）插入這5個(gè)空位，有A35種排法，所以一共有A55A35=7 200種排法。
　　五、分排問(wèn)題“直排法”
　　把元素排成幾排的問(wèn)題，可按一排考慮，再分段處理。
　　例58人排成前后兩排，每排4人，甲、乙排在前排，丙排在后排，有多少種排法？
　　解析：前后兩排可看成一排，甲、乙排在前排有A24種排法，丙排在后排有A14種排法，其余5人排在剩余位置上有A55種排法，故共有A24A14A55=5 760種排法。
　　六、“小團(tuán)體”排列，“先團(tuán)體后整體法”
　　對(duì)于某些排列問(wèn)題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先按制約條件“組團(tuán)”并視為一個(gè)元素，再與其他元素排列。
　　例6用1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有兩個(gè)偶數(shù)在1、5之間，這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？
　　解析：先把1、5、2、4當(dāng)做一個(gè)小集團(tuán)與３排列共有A22種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有A22A22種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有A22A22A22=8種排法。
　　七、平均分堆問(wèn)題用“除法”
　　不同元素平均分成n堆，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分堆后一定要除以Ann(n為均分的堆數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)。
　　例7 現(xiàn)有不同的書(shū)A、B、C、D、E、F，（1）平均分給甲、乙、丙3人，有多少種分法？（2）平均