試析遞推數列的通項公式

　　摘要：數列是高中數學的重要內容，是培養學生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，而求遞推數列通項公式是數列知識的一個難點，遞推數列的題型多樣，求其通項公式的方法也非常靈活。筆者研究了近兩年的各省市高考題，下面對遞推數列求通項公式的類型作一個簡要的分析。
　　關鍵詞：遞推數列；通項公式；分析
　　
　　遞推關系為 形如an+1=pan+q （p≠1 且q為不等于0的常數）的數列，可令an+1+x=p(an+x)，即an+1=pan+(p-1)x 與an+1=pan+q 比較得 x=，從而構造一個以a1+ 為首項，以 p為公比的等比數列an+。 A
　　例1（2010全國卷1理數）已知數列an中，a1=1，an+1=c-。
　　（1）設c=，bn=，求數列bn 的通項公式。
　　（2）略。
　　解：（1）由已知有an+1-2=--2=，
　　∴==+2。
　　∵bn=4bn+2，
　　∴bn+1+=4(bn+)，
　　∴bn+是一個首項為-，公比為4的等比數列，
　　∴bn+1+=-·4n-1即bn= -·4n-1-。
　　類型2遞推關系為an+1=pan+qn 及an+1=pan+f(n)(q、p為常數，且p≠1，q≠0)。它的解法是恰當地構造輔助數列，轉化為可通過累加、累乘等方法求通項的類型。
　　例2（2009江西卷理）各項均為正數的數列an，a1=a，an=b，且對滿足m+n=p+q 的正整數m、n、p、q都有=。
　?。?）當a=，b=時，求通項 an。
　?。?）略。
　　解：（1）由 =得=。
　　將a1=，a2=代入化簡得an=。易求得1、-1是函數不動點，所以=·，故數列為等比數列，從而=，即an=。
　　可驗證，an= 滿足題設條件。
　　總之，求遞推數列的通項公式，大多情況都是對遞推數列進行變形、化簡或求不動點，構造成熟悉的等差或等比數列，或變為可通過累加、累乘等方法求通項的類型，從而求出其通項公式。
　　
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