閑話希爾伯特問題(上)

　　一九○○年，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會上，希爾伯特（David Hilbert，1862—1943）做了題為《數學問題》的演講，提出了二十三個他認為會對二十世紀數學發展起重大作用的問題，這就是著名的希爾伯特的二十三個問題。時至今日，一百一十年已經過去了。這二十三個問題有些被徹底解決了，有些得到了部分地解決，還有幾個則沒有解決。無論如何，這些問題對最近一百多年的數學研究確實是起了極大的推動作用，為了解決其中的某些問題，甚至發展出了一些新的數學領域或分支。在尋求解決這些問題的過程中，那些做出過重要貢獻的人被數學界譽為“榮譽班”成員。關于他們有不少有意思的故事，有悲劇，也有喜劇。而提出這二十三個問題的希爾伯特更是數學界的一代大宗師，應該算是這個“榮譽班”當之無愧的班主任吧。他的學生之一、諾貝爾物理學獎獲得者勞厄（Max von Laue，1879—1960）在回憶他時說：“在我的記憶中，這個人可能是我所見過的最偉大的天才。”
　　希爾伯特出生的哥尼斯堡（Knigsberg）是拓撲學的發祥地，著名的“七橋問題”中的七座橋就在那兒。哥尼斯堡也是大哲學家康德的故鄉，在那里長大的孩子們（尤其是男孩）可以說都是浸泡在康德的思想里成長起來的。每年四月二十二日（康德的生日），康德長眠的地窟會對公眾開放，希爾伯特的酷愛哲學的母親總會帶他去向這位偉大的哲學家致敬。也許正是由于這種哲學上的熏陶，使他一生對數學體系本身的完備性、相容性、確定性等基本問題情有獨鐘。
　　希爾伯特八歲才上學，比一般孩子晚了兩年。他上的是頗負盛名的馮檢基（Friedrichskolleg）書院。在他之前一百四十年，康德就在那里讀書。在這所既傳統又保守的名校里，最受重視的是拉丁文和希臘文，數學次之，根本不教授其他科學課程。因而記憶力并不出眾的希爾伯特沒有太大的用武之地，表現平平，基本上處在疲于應付的狀態。數學對他來說毫不費力，可他也沒花多少精力在上面。按他自己的話說，“在學校里，我沒怎么在數學上下功夫，因為我知道以后會有機會去鉆研它”。直到中學的最后一年，希爾伯特轉學去了非常注重數學和科學的威廉（Wilhelm）書院，他才如魚得水，各科成績突飛猛進。尤其是數學，他不但獲得了最高的分數，還被破格免去了口試。畢業時得到的評語是：“對于數學，他總是表現出濃厚的興趣和深刻的理解：他以令人激賞的方式掌握了學校里教授的所有科目，并且能將其以令人信服和富有創造性的方式加以應用?！?br/>　　中學畢業后，希爾伯特進了哥尼斯堡大學。這所大學以自由著稱，教授想教什么就教什么，學生想學什么就學什么，沒有任何限制。甚至每門課上完后連考試都沒有，只在畢業時需要通過考試。希爾伯特沒有按照父親的愿望去學法律（他父親是法官），而是選擇了數學。那時德國的大學允許學生到其他學校去游學，希爾伯特曾到著名的洪堡大學就讀過一學期。但他沒有像大多數學生那樣，繼續前行去當時的學術中心柏林，而是返回了哥尼斯堡。一八八二年，具有數學神童之稱的閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）也回到哥尼斯堡，兩人志趣相投，從此結為終生的摯友。這個閔可夫斯基后來教過愛因斯坦數學，盡管他對愛因斯坦的數學才能評價很低，他引入的四維時空（閔可夫斯基空間）概念卻為相對論的后續發展奠定了關鍵的數學基礎。一八八四年，二十四歲的赫爾維茨（Adolf Hurwitz，1859—1919）來到哥尼斯堡大學當助理教授，他對希爾伯特的影響極大，可以說是他真正的老師。有相當長的一段時間，每天下午五點整，赫爾維茨、希爾伯特和閔可夫斯基三人都要聚在一起，散步到一棵蘋果樹下。以希爾伯特自己的說法，“在無休止的散步中，我們全神貫注于當時的各種數學問題，交流我們對這些問題的最新理解、想法和研究計劃。同時形成了永久的友誼”。
　　與閔可夫斯基和赫爾維茨相比，希爾伯特應該算是大器晚成的那種（當然不是以我們今天的標準）。閔可夫斯基十八歲還在上大學時就贏得了國際知名度很高的巴黎科學院科學數學大獎賽的大獎（一八八三年）。赫爾維茨則年紀輕輕就已經發表了多篇重量級的數學論文，并獲得了令人羨慕的職位。
　　希爾伯特之所以后來在許多領域里取得了重大成果，與他做學問的方法密切相關。一般人開始研究一個新課題時，通常是以前人的結果為起點接著往前走。希爾伯特卻不是這樣，他總是要從問題的起源開始，將它的來龍去脈徹底梳理一遍。這往往能讓他站在新的制高點上，從與前人不同的角度重新審視問題，發現意想不到的新方法來攻克難題。一個典型的例子就是在他剛出道時解決的不變量理論中的戈爾丹問題。戈爾丹（Paul Gordan，1837—1912）在一八六八年使用構造性方法給出了二元型系統的證明。此后二十年間，很多數學家花了大量的時間想將其推廣到更多元的系統，都以失敗告終。希爾伯特仔細分析了戈爾丹問題，斷定沿著老路走下去是沒有希望的。他于是從一個全新的視角重新審視這個問題，在一八八八年利用反證法一舉給出了任意多元系統的證明。
　　到一九○○年，希爾伯特已經成為可以和龐加萊（Henri Poincaré，1854—1912）比肩的頂尖數學家了。第二屆國際數學家大會邀請他做一個專題演講，題目自選。希爾伯特認為，如果能歸納出對新世紀的數學發展具有重要影響的一批問題將會比僅僅講一個他自己的研究成果更有意義。為此，他寫信征求了閔可夫斯基和赫爾維茨的意見，并在其后多次與他們通信商定問題的取舍。應該說在最后確定的這二十三個問題中，也有閔可夫斯基和赫爾維茨不少的心血。
　　由于時間限制，希爾伯特在大會上只來得及講了二十三個問題中的十個，其余的十三個被列在會議的通報中。這些問題大體上可以分成四大類：數學的基礎問題及特定數學領域的基礎問題、數論問題、代數與幾何問題，以及數學分析問題。
　　巴黎數學家大會之后，這二十三個問題成了二十世紀數學界的指路燈。希爾伯特所在的哥廷根大學則被很多人視為數學的圣地，成百名青年學生從世界各地云集到那里。在鼎盛時期（第一次世界大戰為這一時期畫上了句號），希爾伯特講課時經常連走道上和窗戶外都站著學生。他的很多學生和助手后來都成為數學界或物理學界的重要人物，說他桃李滿天下一點也不為過。
　　一九五○年，美國數學學會要求當時最有影響的數學家之一韋爾（Hermann Weyl，1885—1955）總結一下過去五十年數學的進展，韋爾寫道，要不是因為“巴黎問題”所用術語太過專業，則只需直接將已經解決和部分解決的希爾伯特問題開列下來就已經可以完成任務了?！埃ㄏ柌貑栴}）就是數學家們經常用來衡量自己進展的進度表?！眹@希爾伯特問題的解決，有很多故事可以拿出來細細品味，比如有關希爾伯特第二問題、第八問題、第十三問題等。
　　希爾伯特第二問題
　　希爾伯特第二問題是關于“公理系統相容性的問題”（即判定一個公理系統內的所有命題是彼此相容無矛盾的），希爾伯特希望能以嚴格的方式來證明任意公理系統內命題的相容性。公理系統的一個簡單例子，是我們上中學時都學過的歐氏幾何學，歐幾里得列出了十條公理，所有別的幾何定理都可以從這些公理出發推導出來。
　　解決希爾伯特第二問題的，是被譽為亞里士多德之后最偉大的邏輯學家的哥德爾（Kurt Godel，1906—1978）。除了希爾伯特第二問題，哥德爾對希爾伯特第一問題的解決也起了關鍵性的作用，若不是他的興趣突然莫名其妙地轉移了，第一問題很可能也會成為他的囊中物。
　　
　　哥德爾出生在摩拉維亞省的布爾諾（當時屬奧匈帝國，現屬捷克）。他天資聰穎，只用了四年時間就完成了一般需要八年的初等教育。一九一八年上高中后，他幾乎門門功課都得最高分，而唯一沒拿到最高分的課竟是數學！在進入維也納大學之初，他是準備搞物理的。后來他的導師、數學家哈恩（Hans Hahn，1879—1934）介紹他加入了當時非常有名的Vienna Circle（一個以探討數學和物理學的哲學基礎為目標的、由科學家和哲學家組成的小團體），使他的興趣一下子從物理學轉向了邏輯學。
　　一九三○年二月，哥德爾獲得博士學位，他的博士論文是證明數理邏輯中最基本的形式系統——謂詞演算（又稱一階邏輯）的完備性和相容性。這一年稍后，他證明了他的最著名的兩個關于公理系統的不完備性定理（發表于一九三一年三月）。哥德爾的論證與古希臘哲學家埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前六世紀）的克里特悖論（身為克里特人的埃庇米尼得斯宣稱“所有的克里特人都是騙子”）有點類似。其大意是說，對于任何一個公理系統，必定存在一個用形式語言表述的語句（statement）無法用形式語言的推理來證實或證偽，即這個語句是不確定的，因而只能靠增加一個新的公理來對付它。換句話說，為了堵住公理系統的一個漏洞，就需要引入新的公理，而新公理的引入又導致新漏洞的出現——魚總是比網大！正是這個不完備性定理從完全出乎預料的、相反的方向解決了希爾伯特第二問題。比較準確的說法可能應該是：不完備性定理證明了公理系統相容性的不可證明（也就是說，希爾伯特想要的，是根本不可能被證明的）。這個消息剛剛傳到希爾伯特那里時，他的最初反應是難以置信，甚至還有些憤怒。后來在他的助手伯內斯（Paul Bernays）的說服之下，他仔細研究了哥德爾的證明，很快意識到其正確性和重要性。當時希爾伯特正在哥廷根大學講授一門關于公理系統的課，看了哥德爾的論文后，他馬上把剩余課程全部取消了。
　　哥德爾是數學界公認的天才，也是眾所周知的大怪物。他生性怕羞，據說他第一次講課時整整一節課全都是面對黑板，沒朝學生看一眼。有人認為這也許與他那時就已經患了某種程度的抑郁癥或狂想癥有關。早在學生時代，醫生就懷疑哥德爾可能患有抑郁癥或精神病，而他的一大樂趣就是與他的一個朋友共同策劃如何誤導醫生，以使其無法判斷他到底有什么病。也許正是這種諱疾忌醫的態度要了他自己的命。到了晚年，他的狂想癥最終發展到拒絕進食（因為懷疑食物里有毒），以致由于器官功能衰竭而死。
　　哥德爾還有過被誤認為是德國間諜的經歷。一九四二年夏天，他到緬因州的濱海小鎮藍山（Blue Hill）度假。那時他正致力于選擇公理的獨立性的研究，為了不受干擾，他總在晚上去海灘邊散步邊思考。散步就散步，卻還要自言自語，而且還用德文。那時第二次世界大戰正打得如火如荼，德國潛艇曾經在美國大西洋沿岸出沒過，哥德爾的長相恐怕也有點容易令人起疑。所有這些因素加在一起，讓當地的居民很難不疑心他是前來接應德國潛艇的間諜。當局不時接到舉報電話，好在他們并不糊涂，從未把哥德爾弄到警察局去。
　　作為邏輯學家，哥德爾一生認死理、愛鉆牛角尖，凡事都以邏輯推理為準，有時候讓人覺得他好像是個不食人間煙火的異類。他為數不多的朋友之一，對策論的奠基人、經濟學家摩根斯坦（Oskar Morgenstern，1902—1977）講過一個很有趣的故事，頗能反映哥德爾的這一特點。一九四八年四月，哥德爾準備加入美國籍。入籍前必須通過一個例行的簡單考試。他花了極大的精力認真進行準備，尤其深入地鉆研了美國憲法。考試前不久，哥德爾十分興奮地跑來對摩根斯坦說：“我發現了一個使美國能在邏輯上合法轉化為獨裁政權的可能性?！蹦Ω固巩斎恢啦还芨绲聽柕恼撟C多么精辟，這項發現對入籍考試來說都是災難性的。所以他特別叮囑哥德爾在考試時一定不要提這項新發現?？荚嚹翘?，愛因斯坦和摩根斯坦兩人作為證人陪同哥德爾來到移民局。入籍考試通常只允許申請人一人進入移民官的辦公室。可能是出于對愛因斯坦的尊重，移民官把他們三人一起請了進去。移民官開場說道：“到目前為止，你持有德國國籍……”哥德爾馬上糾正說是奧地利國籍。移民官接著說：“不管怎樣，它是在邪惡的獨裁統治之下……幸運的是，這在美國是不可能發生的?！边@下可捅了馬蜂窩，哥德爾立刻高聲打斷道：“正相反，我知道這是可能發生的！”摩根斯坦等三人費了九牛二虎之力才總算阻止住他繼續深入闡述他的重要發現，讓考試回歸正軌。
　　愛因斯坦與哥德爾交情匪淺，兩人經常一起從普林斯頓高等研究所散步回家。一路上他們會討論涵蓋范圍極廣的各種各樣的問題。哥德爾是為數不多的愿意挑戰愛因斯坦想法的人，比如他曾直言對統一場論抱持懷疑態度。晚年時，愛因斯坦有一次跟摩根斯坦說，他自己的工作對其本身已經沒有多大意義，他之所以仍然每天去研究所，僅僅是為了“能獲得與哥德爾一起散步回家的特權”。哥德爾也把愛因斯坦視為知己。一九四九年，為慶祝愛因斯坦七十大壽，《在世哲學家文庫》準備出一本專輯《阿爾伯特·愛因斯坦：哲學家—科學家》。主編希歐普（P.A.Schilpp）邀請哥德爾也貢獻一篇文章。哥德爾突發奇想，決定要為專輯寫一篇關于廣義相對論的論文，于是重操物理舊業，開始認真研究廣義相對論。讓人不得不服氣的是，他還真發現了愛因斯坦場方程的一個不為人知的新解——這個解對應于一個“沒有時間的世界”（有興趣的讀者可以去看Palle Yourgrau 的A World Without Time）。