“空間與圖形

　　隨著教育改革的不斷推進，課程、教材、教法和習題都已發生了深刻的根本性變革。就數學學科而言，數學實驗性問題、開放性問題、探索性問題、操作性問題等這些新題型如雨后春筍般涌現，尤其是 “操作題”更是猶如小學數學習題領域的一朵奇葩，受到了廣大教師的青睞。
　　筆者也嘗試著對小學數學“空間與圖形”領域操作題的形式、內容、價值取向作了探索，思索在“空間與圖形”領域到底需要怎樣的操作題。筆者認為，首先這些習題可以選材于幾何圖形概念特征的形成過程、公式結論的推導過程、公式計算的應用過程或是常規圖形的繪制過程。其次，習題內容應體現 “操作”的特點，而這其中的“操作”又不能單純地停留在數學技能、技巧的訓練上，而應該是訓練學生“在做中學”的學習方式、合情推理和創新能力的操作與解釋性習題。其目的是讓學生在動手操作的過程中體驗數學結論與規律的得出過程，親自體驗問題情境，領略數學的奧妙，讓學生學會自覺地運用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數學本質，并轉化為熟悉的數學問題，從而解決問題。這類習題應該貼近生活、創意新穎、設計巧妙，能在操作中訓練技能，在過程中訓練方法，在方法中訓練思維，在解釋中訓練個性，并能體現教學目標的綜合性。那么，此類操作題該如何設計呢？現采擷幾例，與教師們共議。
　　一、操作蘊含文化美
　　例：太極圖在中國傳統文化中含意深邃，其形狀為陰陽兩條魚互糾在一起，象征兩極和合。
　　①請你照樣子畫一個。
　　②先補充一個條件，求出陰魚（即陰影部分）的周長與面積。
　　我補充的條件是
　　周長的計算過程是
　　面積的計算過程是
　　此題一映入眼簾，就以不容忽視的霸氣吸引著我們的眼球，它帶給我們的視覺沖擊力更是可想而知。別具一格的它帶給我們的不只是圓的半徑、直徑、周長、面積、畫圓等相關知識與技能的訓練，更獨特的是它匠心獨具地從中國傳統的文化脈絡出發，巧妙地結合了“太極圖”這一文化載體，帶給了學生中國傳統文化美的熏陶。如此知識技能與情感態度兼顧的操作題，所達成的訓練目標怎是常規作圖題所能比擬的？如此精致新穎、奪人眼球的操作題，又怎能不使人駐足欣賞、拍案叫絕呢？
　　中華文化，博大精深，源遠流長。細細留心，數學元素無處不在，只要我們在深刻理解新課標理念的同時，能以數學的眼光觀察傳統素材、捕捉數學信息，一定能設計出許多“數學知識能力訓練與傳統文化美滲透”兩者兼備的操作題，從而使我們的操作題逐漸步入妙不可言的境界。
　　二、操作蘊含自然美
　　例：美麗的鸚鵡螺呈現出螺旋的迷人形態，你能照樣子畫出螺旋線嗎？
　　
　　“鸚鵡螺”的美曾經令許多人心馳神往、嘆為觀止，但又有多少人在欣賞完后能將它的美從數學的高度進行抽象與提升并設計成題呢？我們都明白數學模型是將生活原型抽象化，但又有幾個人能在設計操作題時真正將這一理論付諸行動呢？帶著這些思索再來品味這道題，你是否也為它巧奪天工的設計而折服，為它耳目一新的感受而贊嘆？獨具匠心的它帶給學生的不僅是數學知識與技能的訓練，而且還使他們在操作的過程中了解到了“螺旋線”這一原本并不知道的數學知識，使學生的數學知識得到了擴充。更重要的是，它借助將“鸚鵡螺的螺旋形態”這一數學原型抽象成數學模型這一過程，引導學生用學過的數學知識解釋常見的生活現象，用數學的思想觀察、分析周圍的事物，使學生在繪制圖形的過程中體會到數學與大自然的密切聯系，感悟了數學的“形象美”與“簡潔美”。
　　有心，便能發現；發現，便能領悟；領悟，便能受益匪淺。讓我們帶著一雙數學的慧眼觀察這千姿百態的大千世界，尋找大自然中的數學原型，并從中得到啟發，設計出既能突出知識技能的運用與思維能力的訓練，又能在操作的過程中使學生體會到大自然之美的操作題。
　　三、操作蘊含思維美
　　“空間與圖形”的操作題除了可以蘊含“文化美”“自然美”以外，筆者認為最重要的還是要體現數學習題的本質特點——蘊含思維美。對于這一點，我們可以深入研讀教材，深刻理解教材的編寫意圖，分析利用教材中提供的內容資源，從我們司空見慣的例題與習題中獲取素材設計操作題，從而使教學目標得到進一步深化。
　　 （一）操作——理解——探究
　　 例：探索規律，接著畫一個。
　　
　　此題是一道由教材提供的習題改編而來的實踐操作題，它以 “在正方形中畫圓”的作圖題為背景，以“探索規律”為載體，與常規的習題比較，它的訓練目標更寬廣，呈現形式更生動，能力培養更豐富。它不但可以了解學生對幾何圖形作圖方法的掌握情況，而且可以訓練學生探索規律與發現規律的能力，對學生的識圖、分析、觀察、探究以及實踐操作等能力的培養頗見功效。
　　（二）操作——理解——創新
　　例：用兩塊這樣的圖形拼成兩種不同的圖案。
　　拼法①：拼法②：
　　此題創意獨特，答案開放。它以“圖形設計”為載體，以實踐操作為手段，不但了解學生對圓、三角形等圖形作圖方法的掌握情況，而且還訓練了學生的審美觀念與動手操作能力，對培養學生的空間觀念、實踐能力與創新意識均有益處。
　　（三）操作——理解——推理
　　例：在右邊的線段中先取合適的線段，拼成一個平行四邊形（先說理，再操作）。
　　①因為平行四邊形的相等，所以我選擇四條線段拼成平行四邊形。
　　②把拼成的圖形畫出來。
　　此題獨具匠心，巧妙別致。以往概念特征方面的習題一般都是以填空、判斷與選擇為主，而此題卻出人意料地將平行四邊形的概念特征與動手操作結合了起來，迫使學生運用所學的知識進行推理、操作，從而解決問題。此題的設計不但使圖形的概念特征得到了深化，而且使操作能力的訓練與推理能力的培養落到了實處。
　　（四）操作——理解——再現
　　例：梯形的面積可以這樣推導：把兩個完全一樣的梯形拼成一個（）。
　　即（請畫圖）
　　此題極好地詮釋了“要關注知識的結果，更要關注知識的形成過程”這一理念。它通過再現梯形面積公式的推導過程，不但訓練了浮于表面的公式結論，更是進一步深入到了公式的推導過程，使學生知其然更知其所以然，其效果無論是從廣度還是深度而言，都是單純地默背公式所無法比擬的。這類題有利于學生在動手動腦中發展空間想象能力、圖形的認識能力；在解決問題的過程中，學生能夠感受到學習數學的情趣與價值，經歷“數學化”和“再創造”的過程，不斷提升自己的實踐意識與推導能力。
　　其實，對于公式的推導過程，教材一般都有比較詳細的例題講解，在課堂上教師一般對此也有比較完整的教學環節。而現實是，我們的學生往往只知其然不知其所以然，他們記住的只是求圖形面積、周長的公式與結論，對于公式結論背后的推導過程或是漠不關心，或是知之甚少。筆者認為其中一個原因就是缺少相應的練習。對此，我們就需要設計如例題這樣將公式推導過程與實踐操作相結合的操作題，使學生在實踐操作中深化知識的形成過程。
　　（五）操作——理解——遷移
　　例：三角形的內角和是180度，四邊形的內角和是多少度呢？我們可以這樣探索：把四邊形分成兩個三角形（如右圖），發現四邊形的內角和＝（∠1+∠2+∠3）+（∠4+∠5+∠6）＝度。用同樣的方法可以得出五邊形的內角和是度。（請在圖中畫出方法）
　　此題注重方法、寓意深遠，主要給予學生的是學習能力的培養。它立足于動手操作，通過讓學生經歷由“求題中給出方法的四邊形內角和”到“求要學生自己畫出方法的五邊形內角和”這樣一個由“扶”到“放”的遷移過程，讓學生在讀懂的基礎上掌握方法，并應用于解決新問題。這種題型方法多樣，較好地體現了自主學習和主動探究精神，顯現出研究性學習的創新特點，讓學生初步學會運用數學思維方式觀察、分析與操作，落實了遷移應用能力的培養。
　　“授人以魚，不如授人以漁。”在“空間與圖形”領域有許多像例題這樣需要使用一定的方法才可繼續解答的習題。面對這樣的習題，我們是一成不變、依樣畫葫蘆，還是取其精華、有所創新？筆者認為答案毋庸置疑。我們可以舉一反三，朝著例題指引的方向，提供給學生具有學習方法引領的，能引導他們運用遷移、恰當地使用所學的知識去解決問題的操作性習題，促進學生的終生可持續發展。
　　（六）操作——理解——提升
　　①畫一個與已知平行四邊形面積相等，但形狀不同的平行四邊形（一組對邊必須分別在直線a、b上）。
　　②畫一個與已知平行四邊形面積相等的三角形（一條邊與一個頂點必須分別在直線a、b上）。
　　此題別出心裁，全面整合。它通過在平行線間構造與原來平行四邊形面積相等的平行四邊形與三角形，來了解學生對平行四邊形面積、三角形面積兩者間面積關系及平行線之間的距離處處相等等知識的掌握情況。像這種利用已知圖形進行圖形變換的操作題，不但形式更生動、更新穎、信度更高，而且還使訓練的面更廣、更綜合。此題既有利于改變學生對平行四邊形、三角形面積公式過于機械的理解與認識，同時通過構造形狀不同的圖形，又有利于不同層次的學生展示自己的學習成果，提升習題的區分度，體現了對動手實踐能力的訓練，做到了教學目標多元化。
　　提倡設計綜合全面的操作題并不表示我們否定訓練目標單一的專項習題，我們否定的是讓學生過多地機械練習，避免讓他們淪為只會死搬硬套地應用公式進行計算的操作工。我們可以在學生掌握圖形面積公式的基礎上，抓住教學內容的本質，設計出教學內容整合、教學目標多元的知識與能力相結合的動手操作題。
　　（責編黃桂堅）
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”