有關(guān)等價無窮小量代換問題的討論

　　摘 要： 文章依據(jù)教學過程中遇到的兩類求極限的例題，提出了無窮小量差運算的等價代換和冪指函數(shù)的無窮小量代換問題，并對這兩類極限問題在理論上給出了解決的方法.
　　關(guān)鍵詞： 等價無窮小量代換 冪指函數(shù) 極限
　　
　　在講授利用等價無窮小量求函數(shù)極限的過程中，學生在解決下面兩類例題中遇到了一定的問題.
　　類一：（1） （2）
　?。?）的正確解法：=
　　錯誤解法：==0
　?。?）的正確解法：=-
　　=-=1-=
　　錯誤解法（暫時認為是錯誤的）：
　　===
　　針對這兩個例題的不同做法，有以下問題需要解決。
　　第一：第（2）個題目的“錯誤做法”是否真是錯誤的？因為兩種做法的答案是相同的，我們有理由認為第二種做法可能是正確的。
　　第二：如果（2）的第二種做法正確，那么（1）的第二種做法為什么不可以呢？
　　第三：和差運算滿足什么條件時，就可以進行等價無窮小量的代換？
　　類二：（3）（1+3x+x） （4）（1-sinx）
　?。?）的正確解法：
　?。?+3x+x）=（1+3x+x）
　　 =（1+3x+x）=e=e
　　錯誤解法（暫時認為是錯誤的）：
　?。?+3x+x）=（1+3x+x）
　　（4）的正確解法：
　　（1-sinx）=（1-sinx）
　　錯誤解法（暫時認為是錯誤的）：
　?。?-sinx）=（1-x）=（1-x）=e
　　對這兩個例題，有以下問題需要解決.
　　第一：冪指函數(shù)的底函數(shù)或指函數(shù)為無窮小量時，是否可以做無窮小量的代換？
　　第二：（1+α（x））（1+α′（x）），α（x）~α′（x）（x→ ）
　　定理1：設(shè)α~α′，β~β′，當lim=B≠-時，mα+nβ~ma′+nβ′，其中，m，n均為非零實數(shù).（上述等價無窮小和極限均是在同一極限趨向下的表達式.）
　　證明：lim=lim
　　由定理1可以看到：在（1）中，因為=1=-，所以此時不能分別采用等價無窮小的代換.而在（2）中，因為=≠-=1，所以當x→0時，tan5x-sin2x—5x-2x，可以代換.即（2）的第二種做法是正確的，只是在做題過程中學生需要驗證所做題目是否滿足定理1的條件.同時，定理1還告訴我們和差運算中可以實行等價無窮小量代換的條件.
　　定理2：設(shè)α~α′，β~β′，且limα′=A存在，則有l(wèi)ima=limα′.（上述等價無窮小量和極限均是在同一極限趨向下的表達式.）
　　證明：limα=limα′?=limα′?lim
　　 =lim（α′）?lim（）=A.
　　結(jié)論得證.
　　定理3：設(shè)α~α′且lim（1+α′）=A存在，則有l(wèi)im（1+α）=lim（1+a′）.（上述等價無窮小量和極限均是在同一極限趨向下的表達式.）
　　證明：lim（1+α）=e=e
　　 =e=e=A
　　定理2和定理3說明，在冪指函數(shù)求極限的過程中，底函數(shù)和指函數(shù)中的無窮小量均可以通過無窮小量的代換簡化計算.因此，例（3）和（4）的第二種做法也是正確的.
　　應(yīng)用舉例:
　　==
　　 =
　　實際上，因為=-1，如果不考慮定理1的條件是否滿足就去代換，將會產(chǎn)生錯誤的計算結(jié)果:
　　===1.
　?。╟osx）=［1+（cosx-1）］=（1-）=e.
　　
　　參考文獻：
　?。?］龔德恩.微積分［M］.四川人民出版社，2006.7.