有關(guān)等價(jià)無窮小量代換問題的討論

　　摘 要： 文章依據(jù)教學(xué)過程中遇到的兩類求極限的例題，提出了無窮小量差運(yùn)算的等價(jià)代換和冪指函數(shù)的無窮小量代換問題，并對(duì)這兩類極限問題在理論上給出了解決的方法.
　　關(guān)鍵詞： 等價(jià)無窮小量代換 冪指函數(shù) 極限
　　
　　在講授利用等價(jià)無窮小量求函數(shù)極限的過程中，學(xué)生在解決下面兩類例題中遇到了一定的問題.
　　類一：（1） （2）
　　（1）的正確解法：=
　　錯(cuò)誤解法：==0
　　（2）的正確解法：=-
　　=-=1-=
　　錯(cuò)誤解法（暫時(shí)認(rèn)為是錯(cuò)誤的）：
　　===
　　針對(duì)這兩個(gè)例題的不同做法，有以下問題需要解決。
　　第一：第（2）個(gè)題目的“錯(cuò)誤做法”是否真是錯(cuò)誤的？因?yàn)閮煞N做法的答案是相同的，我們有理由認(rèn)為第二種做法可能是正確的。
　　第二：如果（2）的第二種做法正確，那么（1）的第二種做法為什么不可以呢？
　　第三：和差運(yùn)算滿足什么條件時(shí)，就可以進(jìn)行等價(jià)無窮小量的代換？
　　類二：（3）（1+3x+x） （4）（1-sinx）
　　（3）的正確解法：
　　（1+3x+x）=（1+3x+x）
　　 =（1+3x+x）=e=e
　　錯(cuò)誤解法（暫時(shí)認(rèn)為是錯(cuò)誤的）：
　　（1+3x+x）=（1+3x+x）
　　（4）的正確解法：
　　（1-sinx）=（1-sinx）
　　錯(cuò)誤解法（暫時(shí)認(rèn)為是錯(cuò)誤的）：
　　（1-sinx）=（1-x）=（1-x）=e
　　對(duì)這兩個(gè)例題，有以下問題需要解決.
　　第一：冪指函數(shù)的底函數(shù)或指函數(shù)為無窮小量時(shí)，是否可以做無窮小量的代換？
　　第二：（1+α（x））（1+α′（x）），α（x）~α′（x）（x→ ）
　　定理1：設(shè)α~α′，β~β′，當(dāng)lim=B≠-時(shí)，mα+nβ~ma′+nβ′，其中，m，n均為非零實(shí)數(shù).（上述等價(jià)無窮小和極限均是在同一極限趨向下的表達(dá)式.）
　　證明：lim=lim
　　由定理1可以看到：在（1）中，因?yàn)?1=-，所以此時(shí)不能分別采用等價(jià)無窮小的代換.而在（2）中，因?yàn)?≠-=1，所以當(dāng)x→0時(shí)，tan5x-sin2x—5x-2x，可以代換.即（2）的第二種做法是正確的，只是在做題過程中學(xué)生需要驗(yàn)證所做題目是否滿足定理1的條件.同時(shí)，定理1還告訴我們和差運(yùn)算中可以實(shí)行等價(jià)無窮小量代換的條件.
　　定理2：設(shè)α~α′，β~β′，且limα′=A存在，則有l(wèi)ima=limα′.（上述等價(jià)無窮小量和極限均是在同一極限趨向下的表達(dá)式.）
　　證明：limα=limα′?=limα′?lim
　　 =lim（α′）?lim（）=A.
　　結(jié)論得證.
　　定理3：設(shè)α~α′且lim（1+α′）=A存在，則有l(wèi)im（1+α）=lim（1+a′）.（上述等價(jià)無窮小量和極限均是在同一極限趨向下的表達(dá)式.）
　　證明：lim（1+α）=e=e
　　 =e=e=A
　　定理2和定理3說明，在冪指函數(shù)求極限的過程中，底函數(shù)和指函數(shù)中的無窮小量均可以通過無窮小量的代換簡化計(jì)算.因此，例（3）和（4）的第二種做法也是正確的.
　　應(yīng)用舉例:
　　==
　　 =
　　實(shí)際上，因?yàn)?-1，如果不考慮定理1的條件是否滿足就去代換，將會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果:
　　===1.
　　（cosx）=［1+（cosx-1）］=（1-）=e.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］龔德恩.微積分［M］.四川人民出版社，2006.7.