柯西不等式的證明及在極值問(wèn)題上的應(yīng)用

　　摘 要： 本文通過(guò)對(duì)柯西不等式的研究，得出了幾種新的證明方法：配方法、向量法、行列式性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、運(yùn)用二元二次型的正定性，最后討論了柯西不等式在極值問(wèn)題上的應(yīng)用.
　　關(guān)鍵詞： 柯西不等式 證明方法 極值問(wèn)題
　　
　　柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式，價(jià)值不可估量.它以對(duì)稱和諧的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用的廣泛性，引起了人們的興趣和探討。它對(duì)推導(dǎo)其他數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)解題及在實(shí)際運(yùn)用中都有非常重要的作用.
　　本文主要研究柯西不等式的幾種證明方法及利用柯西不等式來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后還給出柯西不等式的一些推廣.柯西不等式在理論中占有很重要的地位，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解，起到事半功倍的作用，也有利于培養(yǎng)人的邏輯思維能力和推理論證能力.同時(shí)，柯西不等式也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的不等式，而且對(duì)初等數(shù)學(xué)也有很重要的指導(dǎo)作用，利用它能高瞻遠(yuǎn)矚、居高臨下，能夠方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問(wèn)題.構(gòu)造柯西不等式解題能夠打破常規(guī)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，充分發(fā)揮柯西不等式的教育功能.
　　一、柯西不等式的證明
　　柯西不等式是一個(gè)重要的不等式，其應(yīng)用極為廣泛.無(wú)論是高等數(shù)學(xué)還是初等數(shù)學(xué)，都有不少問(wèn)題可以用它來(lái)解決.柯西不等式的多種方法證明及靈活應(yīng)用，對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力也頗有益處.下面給出柯西不等式的五種證明方法.
　　1.配方法
　　證明：（a+a+…+a）（b+b+…+b）-（ab+ab+…+ab）
　　=（a）（b）-（ab）=ab-abab
　　=（ab+ab-2abab）
　　=（ab-2abab+ab）=（ab-ab）≥0
　　即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）
　　當(dāng)且僅當(dāng)（ab=ab）=0，即a=kb（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.
　　2.向量法
　　證明：設(shè)n維向量=（a+a+…+a），=（b+b+…+b），則有|?|≤||?||，即（?）≤||||，所以（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），當(dāng)且僅當(dāng)（ab=ab）=0，即a=kb（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.
　　3.數(shù)學(xué)歸納法
　　證明：當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.
　　當(dāng)n=2時(shí)，（ab+ab）=ab+2abab+ab≤ab+ab+ab+ab=a（b+b）+a（b+b）=（a+a）（b+b）
　　當(dāng)且僅當(dāng)ab=ab時(shí)，等號(hào)成立.
　　假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），當(dāng)且僅當(dāng)ab=ab（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.
　　當(dāng)n=k+1時(shí)，
　　2ab
　　=（a+a+…+a+a）（b+b+…+b+b）
　　=（a+a+…+a）（b+b+…+b）+b（a+a+…+a）+a（b+b+…+b）+ab
　　≥（a+a+…+a）（b+b+…+b）+2ab+ab
　　≥（ab+ab+…+ab）+2ab（ab+ab+…+ab）+ab
　　=（ab+ab+…+ab）
　　即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a+a）（b+b+…+b+b），當(dāng)且僅當(dāng)ab=ab（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.
　　綜上所述，（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），當(dāng)且僅當(dāng)（ab=ab）=0，即a=kb（k為常數(shù)，i=1，2，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.
　　4.運(yùn)用二元二次型的正定性
　　證明：顯然0≤（ax+by）=（a）x+2（ab）xy+（b）y為x，y的正定二次型，所以其判別式不大于0.即4（ab）-4ab≤0
　　（ab）≤ab（1）
　　且（ax+by）=0，當(dāng)且僅當(dāng)ax+by=0，即=-，i=1，2，…，n.所以當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)，（1）式等號(hào)成立.即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…