幾例典型應用題的方程求解與“線段圖”分析求解

　　摘 要： 應用題對培養學生的數學思維有其獨特的作用，而應用題的方程求解與算術方法求解也各有自己的特點。本文就“線段圖”的分析方法對四道例題進行算術求解。在例1、例2中，當線段圖畫出來后，只需簡單說明，不用列式，就已經得出答案。而在例3、例4稍難的應用題中，分析清數量關系再加上線段圖，也能正確地用算術方法進行求解。同時，本文對例2、例3、例4也給出了方程求解。
　　關鍵詞： 應用題 “線段圖”分析求解 方程求解
　　
　　應用題在培養學生的數學思維方面有著重要的作用，能夠為學生今后的學習奠定基礎。對于文中幾例典型的應用題，首先應進行讀懂題意，分析清楚數量關系，然后通過判斷、分析、綜合、歸納、推理作出線段圖，從而得出應用題的算術解法。首先，看人民教育出版社《小學數學教材教法》第一冊的一道分數應用題。
　　例1:當水結成冰時，體積增加，當冰化成水時，體積要減小幾分之幾?
　　分析：本題主要涉及水結成冰和冰化成水時，單位不同，從而得到算式。下面我們不列式，先畫出本題的線段圖如下。
　　由上圖的分析，我們發現冰化成水時，體積減小。
　　例2：一列火車加速行駛，經過一條長約300m的隧道需要20s的時間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發光，燈光照在火車上的時間是10s，根據以上數據，你能否求出火車的長度？
　　分析：應用題首先要分析題意，需要對每一句話進行實際分析，從而理清題目的數量關系。首先，我們來看火車經過隧道所行駛的路程是指從火車頭開始駛入隧道口，直至火車從另一隧道駛出來為止，如下圖：
　　火車移動的距離即是火車經過隧道所行駛的路程。于是火車行駛的路程為隧道長加火車車身長。
　　下面，我們再分析隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發光，燈光照在火車上的時間是10s。這句話的關鍵在于垂直向下發光，如下圖：
　　當示意圖畫出來后，即知道火車被燈光照到車上所行駛的距離為火車車身長。
　　解法一：設火車長度為x，火車經燈光行駛的距離為x，時間為10s，從而火車的速度為m/s。于是20s火車行駛（x+300）m，則有：
　　×20=x+300
　　x=300（m）
　　解法二：通過前面的分析，我們知道10s行駛的距離是車身長，20s行駛的距離是隧道長+車身長。而20s行駛的距離是10s的2倍，即2倍火車車身長，2倍火車車身長等于隧道長+車身長，隧道長等于車身長。由于隧道長300m，因此火車車身長300s。
　　答：略。
　　例3：小紅與四名同學一起參加一次數學競賽，那四名同學的成績分別是78分、82分、91分、79分，小紅的成績比五人的平均分高6分，求小紅的成績。（源自云南省小學骨干教師培訓，小學數學本體知識調研問卷）
　　解法一：設小紅的成績為x，則五人平均分為（78+82+91+79+x）/6，于是
　　=x-6
　　330+x=5x-30
　　x=90
　　本題的方程求解很容易得到，而算術式求解要稍困難一些。解此題的關鍵一要充分利用總分及平均分的關系，二是在理解的基礎上畫出線段圖。四名同學的總分為78+82+91+79=330分。現在，我們來分析小紅的成績比五人的平均分多6分。
　　解法二：小紅的成績分為五人平均分與多出平均的6分，于（330+6）÷4等于五人平均分，從而小紅的成績為：
　　（330+6）÷4+6
　　=336÷4+6
　　=84+6
　　=90（分）
　　解法三：如下圖，四人的平均分為（78+82+91+79）÷4，因此，四人平均分為82.5。而因小紅的成績比五人的平均分高6分，從而五人平均分比四人平均分高。
　　從而6分分給四名同學構成5人平均分，從而五人平均分比四人平均多出的分數為6分的四分之一，小紅的成績為：
　　330÷4+6+6÷4
　　=82.5+6+1.5
　　=90（分）
　　答：略。
　　例4：加工一批零件，單獨做甲乙兩人所用的時間比是3：5。現兩人合做，完工時甲方完成了這批零件的雙66個，這批零件共有多少個？
　　解法一：由于甲乙兩人單獨做所用的時間比是3：5，從而甲乙兩人的效率比為5：3。因此，設這批零件共有x個，則甲完成了x+66個，而已完成了x-6。從而有：
　　=
　　x+66×3=x-66×55
　　x+66×3=x-66×5
　　66×8=x
　　x=6×8×7
　　=336（個）
　　答：略。
　　解法二：由于甲乙單獨成這批零件的時間比為3：5，從而甲乙兩人的效率比為5：3，設甲乙兩人完成的零件數分別為5x，3x，這批零件共有5x+3x=8x，從而
　　5x=8x?+66
　　35x=24x+66×7
　　x=6×7
　　=42
　　這批零件共有：42×8=336（個）
　　答：略。
　　解法三：由于甲乙單獨完成這批零件所用的時間比為3：5，從而甲乙人的效率為5：3。從而兩人共同完成這批零件時，將零件分做8份。甲完成5份，即完成這批零件的，乙完成。由題意知甲完成這批零件的又66個。于是，如下圖：
　　66個這批零件的-，這批零件為：
　　66÷-
　　=336（個）
　　答：略。
　　
　　參考文獻：
　　［1］人民教育出版社小學數學室編著.小學數學教材教法.人民教育出版社，1994.12，第一版.
　　［2］課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心編著.數學七年級上冊.人民教育出版社出版，2007.3，第三版.