數學教學要追求自然高效

　　多次拜讀夸美紐斯的《大教學論》，夸美紐斯主張一切教學工作應該遵循自然。在他的教學論體系中，“遵循自然”不是一個普通的教學原則，而是一切教學原則的基礎，一切教學原則與規則都是從“遵循自然”這一總原則上推演出來的。我們可以把夸氏所說的“自然”理解為事物本身的規律。這一規律對我們的數學教學也有很大的借鑒作用，我們要研究自然，仿效自然，提倡健康快樂教育。數學探究過程也要自然、和諧、流暢和高效。下面我就談談自己在教學實踐中的幾點思考。
　　一、讓思維之河自然地流淌
　　夸美紐斯說：“凡是強迫孩子們去學習功課的人，他們便是給了孩子們很大的損害。假如一個人沒有食欲，卻又被迫去吃食物，結果只能是疾病與嘔吐，至少是不消化、不痛快。反之，假如一個人餓了，他就急于要吃食物，立刻可以把食物加以消化，容易把他變成血肉。”知識的獲得在于求知的欲望，這是不能夠強迫的。我們要應用一切可能的方式把孩子們的求知與求學的欲望激發起來。方法要能夠激起求知的欲望，必須來得自然。“因為凡是自然的事情就都無需強迫”。水往山下流是用不著強迫的。
　　例如，在教學蘇科版《數學》八上“勾股定理”時，我進行了如下嘗試。
　　八年級是學生學習數學的一個重要發展階段，也即具體思維向形式化思維的轉變時期，所以可以說，勾股定理的教學也處于學生思維轉折階段。勾股定理的教學一直是初中數學教學的難點，主要表現在以下兩點：一是怎樣讓學生“自然地”發現勾股定理，體驗知識的形成過程；二是怎樣讓學生比較“自然地”找到證明方法，感受幾何論證的嚴謹性。
　　探究勾股定理的方法是利用如下方格紙（圖1、圖2）進行探究。
　　首先讓學生計算直角三角形三邊的平方分別是多少，只要能計算出三邊的平方，直角三角形三邊之間的平方關系就很容易猜想出來的。而直角三角形邊長的平方實際上就是每邊上的正方形面積。其中正方形A、B的面積容易求出，而斜邊上正方形C面積的計算有一定的困難。
　　一種常用的方法是“割”，如圖3、圖4所示。
　　上述在方格紙上運用內割法或外補法求斜邊上正方形面積（七下：從面積到乘法公式）的活動蘊含了勾股定理的證明思路，由圖5可得：c=（a-b）+4ab，由圖7可得：（a+b）=c+4ab，化簡之后就得到a+b=c。因此，利用方格紙探究可以幫助學生較順利地猜出直角三角形三邊的關系，從而水到渠成地獲得定理的證明，使勾股定理的學習一氣呵成。
　　我們必須深刻意識到利用方格紙不僅能讓學生很容易地猜出勾股定理，而且能自然地啟發學生證明勾股定理的思路。因此，在證明勾股定理的教學環節，不應該另辟蹊徑：如直接向學生介紹勾股定理的多種證法，或采用前述拼圖的方法，等等，而使得勾股定理的教學沒有達到應有的目的，錯失了培養學生各種能力的機會。
　　二、讓知識網絡自然地建構
　　自然在它的形成進程中是從普遍到特殊的。比如：一只鳥兒要從一個鳥卵產生出來，先形成的并不是鳥頭、一只鳥眼、一根鳥毛或一只鳥爪，而是按照下列程序：整個鳥卵得到了溫暖；溫暖產生運動，這種運動生出一個血脈系統，這就構成了一只整個的鳥兒的輪廓（劃分了將要變成鳥頭、鳥翼、鳥足等各部分）。這個輪廓沒有完成以前，個別部分是不會先完成的。
　　一個藝術家把這種情形當做他的模范。他并不開始就畫一只耳朵、一只眼睛、一個鼻子或一張嘴，而是先用木炭勾出一個面孔或全身的輪廓。如果他覺得這個輪廓類似原來的形狀，他才用筆輕輕勾畫，一切細枝末節仍舊省略不畫。最后他才加上光與影，用種種顏色把各部分仔細畫完全。
　　由此可見，老師在教學的一個模塊或一個單元之前，也應該引導學生對整章有一個整體的認識，把整個知識領域的一般輪廓放在學生跟前，從整體上概括地思考一下研究的內容和方法，努力形成知識網絡，學生應當學到研究數學一般的基本原則和方法。
　　例如，在教學蘇科版《數學》八上“平行四邊形探究”時，我進行了如下嘗試。
　　問題：類比三角形的研究，你能勾畫一下“四邊形”研究的問題、過程和方法嗎？
　　【設計意圖】通過類比，先讓學生對本章內容有一個整體認識，在后續研究中能“見木見林”，給學生提供基本思想方法，從而增強學習主動性。
　　通過歸納得到：
　　四邊形的定義（概念，組成要素，對角線等相關元素）。
　　進而得到：
　　四邊形的基本性質（內角和、外角和等）；
　　四邊形的全等（暫時不研究）；
　　特殊四邊形的研究，也可以按角的特殊、邊的特殊分類，研究的基本內容也是性質、判定、大小度量等；
　　相似四邊形（暫時不研究）。
　　師生總結：
　　邊的特殊性，可以從“大小關系”和“位置關系”兩個角度入手。如果兩組對邊分別相等，從直觀上就可以發現，這樣的四邊形具有中心對稱性，對稱中心就是對角線的交點，而且由全等三角形易得兩對對角分別相等；再結合平行線的性質，容易得到它的兩組對邊分別互相平行。這就是我們要研究的平行四邊形，研究的基本內容也是性質和判定。研究“性質”，就是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規律，如邊的大小關系、內角的關系、對角線的關系等；研究“判定”，就是考察具備什么條件的四邊形才是平行四邊形。
　　在平行四邊形中，還可以進一步研究特殊的平行四邊形：角的特殊——矩形；邊的特殊——菱形；邊角都特殊——正方形。
　　值得注意的是，平行四邊形的特征性質是平面幾何中研究平行性的主要工具，它在研究平行性問題中所扮演的角色就像等腰三角形在研究對稱性中所扮演的角色一樣，是基本且重要的工具。