基于結構化模型的住房抵押貸款定價研究

摘 要：住房抵押貸款隱含著提前支付期權與違約期權，而期權是否執行取決于利率與房價兩個風險因子.傳統的結構化期權定價理論往往高估了住房抵押貸款的期權價值.采用雙二叉樹網格定價模型在Wei模型的基礎上考慮多步跳躍的情形，并結合HST模型消除狀態變量相關性，另外引入社會成本這一變量，使模型具有更好的適用性.實證分析表明，房價波動超過一定幅度時期權價值迅速增加，利率波動直接影響期權價值或通過影響房價間接影響著期權價值.因此，必須重視利率對房地產市場的影響并加強宏觀調控以維護房地產市場健康發展.

關鍵詞：隨機過程；提前支付期權；違約期權；雙二叉樹法

中圖分類號：F830 文獻標識碼：A

Study of the Pricing of Housing Mortgage Loan

Based on Structured Mode

LONG Hai-ming ，XU Si，TANG Hai-long

（College of Finance and Statistics， Hunan Univ，Changsha， Hunan 410079， China）

Abstract:Prepayment option and default option are implied in the housing mortgage loan， but whether they will be carried out depends on two risk factors， which are interest rate and housing price. Traditional structured option pricing theory usually overestimates the option value of housing mortgage loan. The double binomial tree quid pricing model makes it better adaptive by taking multi-step jumping cases into account on the basis of model Wei， combining HST model to remove state variables' correlation and by introducing social cost as a variable. The empirical analysis indicates that the option value increases sharply when housing price fluctuates to a certain extent， and interest rate fluctuation influences the option value directly or indirectly by affecting housing price. Therefore， it is necessary to pay great attention to the impact of interest rate on real estate market， and to strengthen the macro-control on real estate market in order to maintain its healthy development. 

Key words: stochastic programming; prepayment option; default option; double binomial tree



當前，我國的房地產市場已進入結構性調整階段，房價的周期性波動在所難免，這必將引發銀行住房抵押貸款違約率的上升和貸款風險加大.為了保證銀行的安全性與收益性，利用現代貸款定價模型為住房抵押貸款進行合理定價以控制風險就顯得尤為迫切.

國內外學者對住房抵押貸款定價模型的研究主要有結構化模型與簡化形式模型兩大類.簡化形式模型強調在貸款的歷史數據中通過統計方法描述出借款人的還款行為特征函數，并在此基礎上建立貸款定價模型.但是在房價、利率等市場特征因子劇烈波動的經濟環境下，簡化形式模型的樣本績效較差，該方法將帶來顯著的模型風險.而結構化模型能夠很好地彌補這一缺點，它將違約概率看作內生變量，將借款人債務看作一種期權，并利用期權相關理論進行定價，在經濟環境劇烈變化時能準確描述借款人行為變化，因而適應性很好.Nelson和Ramaswamy(1990)［1］ 使用二叉樹網格法定價技術，在多因素衍生證券定價過程中對多因素之間的相關關系進行轉換，提高了定價的科學性.Kau(2002)［2］ 在雙因素的住房抵押貸款定價模型求解中采用了雙因素的外推有限差分法.Hilliard(2004)［3］ 將二叉樹網格技術運用在雙因素期權定價上，利用變量的轉換過程解決了變量的異方差與變量之間的相關性.上述研究為住房抵押貸款的雙二叉樹網格定價奠定了基礎.

1 模型構建

期權定價理論認為，住房抵押貸款實際隱含著提前支付期權與違約期權.其中，提前支付期權的主要觸發因素是利率，在合同利率固定的情形下，當市場利率高于抵押貸款利率時，提前償付對借款人來說是不利的，如果市場利率下降，借款人可能以較低的市場利率借入資金，以借新還舊的方式提前償還貸款余額來減小借款人的負債；借款人在t時刻相當于持有了一個以借款人未償還貸款的市場價值B(t)為市場價、以貸款的未付本金F(t)為執行價的看漲期權，它的價值為cp=max {(B(t)－F(t))，0}.此外，借款人在進行提前支付時同時面臨著金融機構收取的罰金、手續費等顯性成本，設其相對于未付本金余額的比例為δe，以及為提前償還而融資的時間成本、機會成本等隱性成本，設其相對于未付本金余額的比例為δi，此時提前支付期權價值為：

cp=max {［B(t)－(1+δe+δi)F(t)］，0}

另一方面，當抵押住房價格下降且大大小于抵押貸款價格時，理性的借款人就會選擇違約并放棄抵押住房所有權以減少損失，因而借款人的違約可以將其看成一個隱含在住房抵押貸款中的關于房價H(t)的看跌期權，未償還貸款的市場價值B(t)為它的執行價，考慮借款人違約時的違約成本td，違約期權的價值為cd=max {［B(t)－(1+td)H(t)］，0}.因此，貸款價格V等于未來現金流入的貼現值減去提前支付期權與違約期權的價值［4］.

住房抵押貸款隱含的提前支付期權與違約期權屬于美式期權，一般使用二叉樹的數值方法為其定價.Nelson和Ramaswamy(1990)［1］將狀態變量的分布過程進行轉換，轉換后的二叉樹網格的局部漂移與方差達到收斂于原分布的瞬時漂移與方差的要求，則經過轉換后的二叉樹節點是共享的，大大減少了計算的次數與時間.Wei（1993）［5］在利率和資產價格隨機波動的條件下構造了雙二叉樹網格定價模型，該方法可以應用到住房抵押貸款定價當中.不過Wei的定價技術在隱含有負利率的情形下沒考慮多步跳躍，不能保證在利率接近于0或負值時有嚴格的正概率條件.Hilliard，Schwartz（2005）［6］和Tucker(1996)［7］利用通過變量間的轉換解決了變量的異方差與變量間的相關性.本文的雙二叉樹網格模型在Wei模型的基礎上考慮多步跳躍的情形，并結合HST模型消除狀態變量相關性，使住房抵押貸款定價模型具有更好的適用性.模型分為以下4個步驟：

1）將影響住房抵押貸款價格的利率與房價兩個狀態變量轉換為微分過程.假定利率服從Vasicek模型，其擴散過程的模型為：

drt=k(θ－rt)dt+σrdzr

式中rt是瞬時利率，θ是長期利率的均值，k為回復速率.

住房抵押貸款的抵押住房價格變化影響著違約期權，房價的變化也看成是一個隨機過程，用模型表示為：

dHH=(rt－s)dt+σHdzH

式中H為房價，rt服從Vasicek利率模型，s為租金率，σH為房價的波動率［8］.

2）對利率與房價隨機過程進行轉換.對瞬時利率rt的轉換，令R(t)=r(t)/σr，則根據伊藤引理，有：

dR(t)=k(θ/σr－R(t))dt+dzr 

對房價H進行轉換，令X=ln H/σH，利用伊藤引理可以得到：

dX=r(t)σr-s-σ2H2σHdt+dzH

接下來定義一個新變量Y(t)與R(t)正交.當Y(t)=X－ρR(t)1－ρ2時，變量Y(t)與R(t)正交.其中，ρ表示變量X與R(t)之間的相關系數.根據伊藤引理有：

dY(t)=(σrσH+ρk)R(t)－ρσr.kθ－σH21－ρ2dt+dzy

其中dzy表示一個與R(t)正交的標準維納過程.

3）建立雙二叉樹網格模型.在二叉樹圖上，當前節點到下一節點，為了確保下一時刻兩個二叉樹節點之間重合，可以通過合理地選擇每個二叉樹上升和下降的概率實現該要求.然而，一步上升或下降過程（跳躍）不能保證在利率接近于0或負值時有嚴格的正概率條件，這樣導致計算結果不能與真實情況符合.為了解決這個問題，Nelson和Ramaswam［1］允許多步跳躍，從而保證了跳躍過程嚴格正概率條件.設Δt為二叉樹兩個節點之間的時間間隔，由于轉換后的R(t)和Y(t)消除了異方差，每個變量的跳躍幅度均為

2 數據來源與參數估計

由于我國同業拆借利率對市場變化最敏感，在金融市場上具有導向和傳導效應，因此本文選取國研網2003年1月至2010年2月全國銀行間同業拆借市場月度同業拆借加權平均利率數據(資料來源：國研網（2010.3）)，對利率模型的參數進行估計.根據軟件Eviews6.0得出vasicek利率模型的均值水平θ=0.020 21，均值回復系數k=0.809 2，利率的標準差σr=0.005 81，初始利率采用2010年2月同業拆借平均利率r0=0.014 86.

對于房價隨機過程的參數估計，本文選取2003年1月至2010年2月的我國商品房平均銷售價格指數來近似估計房屋價值波動率.利用軟件Eviews6.0對其進行參數估計，得到房價波動率參數為：σH=0.165 55.對于房屋的租金率而言，本文將租金率s設為0.04(數據來源：光大證券研究所整理得到).

此外，本文利用中國銀行某分行的300筆住房抵押貸款統計信息(數據來源：中國銀行某分行)對其他參數進行估計.這些統計信息包括借款人的貸款金額、貸款月利率、家庭月收入、月還款額、抵押物價值、貸款期限、有無違約情況等.利用Eviews6.0分別對貸款月利率進行分析，得出住房抵押貸款合同利率均值c=0.077 4. 根據銀行住房抵押貸款慣例將住房價值比LTV=0.7；貸款本金總額設定為10萬元；抵押貸款期限設為5年；違約成本td引用Stanton(1995)［10］的模型數據設為0.015；提前支付的兩類交易成本采用Stanton(1995)［10］模型數據設定：δe=0.005，δi=0.005；利用Eviews6.0對住房銷售價格指數與銀行同業拆借加權平均利率兩個變量進行相關性分析，得出兩變量相關系數ρ=0.20.

由于住房抵押貸款的風險水平與其隱含的期權價值緊密相關，所隱含的期權價值越高，銀行所面臨的風險越大.而貸款價值比、利率的波動、房價的波動及貸款的期限均是影響住房抵押貸款期權價值的重要因素［11］，本文將通過變換相應的參數，得出相關的數據進行分析.

2.1 利率波動與住房抵押貸款價格關系

利用前文的初始參數值，通過變動利率波動率這一參數，運用MATLAB程序運行得出在不同利率波動率下的住房抵押貸款價格與住房抵押貸款隱含的期權價值，如圖2所示.

從圖2中可以看出，住房抵押貸款期權價值與市場利率的波動呈負相關，并且在市場利率波動較小的區間（0.005<σr<0.04），住房抵押貸款的期權價值下降較慢，隨著波動率的增大，期權價值下降得越來越快，并在σr=0.12達到最大值，之后期權的價值下降的速度逐漸降低.

圖2對此予以了驗證.從圖2還可以看出，在市場利率波動不大的區域內（0.005<σr<0.04），貸款價值變化幅度非常小，但是在利率波動率較大的情況下（σr≥0.13），貸款價值逐漸減小，而且減小的速度越來越快.產生這一現象的原因可能在于，在存在著違約成本、提前支付成本的摩擦環境下，這些成本有可能部分抵消期權的作用，并且由于利率波動率的變化帶來的貼現率的變化可能抵消一部分期權價值［12］.

利率波動率σ 

2.2 房價波動與抵押貸款價格關系

同理，沿用前文參數值，通過變動房價的波動率這一參數，利用matlab程序計算出住房抵押貸款在不同房價波動率下的期權價值與貸款價格，如圖3所示.

房價波動率σ 

從圖3中可以看出，房價波動率越大，住房抵押的貸款的期權價值越高.并且在房價波動較小的區域內（σH<0.44），住房抵押貸款的期權價值無明顯變化，而當房價波動幅度比較大的情況下（σH>0.44），住房抵押貸款的期權價值則迅速地增加，并且增加的速度越來越快.此外，住房抵押貸款價格隨房價波動的變化趨勢與期權價值的變化趨勢剛好相反.因此，在房價波動率超過一定程度時（如σH>0.44），銀行必須高度重視住房抵押貸款的風險，采用各種有效手段來控制住房抵押貸款的風險.

2.3 貸款價值比、貸款期限對期權價值的影響

通過改變貸款價值比LTV，利用前文的期權定價模型，算出在各種LTV水平下的貸款期權價值，計算結果如表1所示.

表1反映了隨著LTV水平的提高，住房抵押貸款的期權價值不斷增加.貸款價值比LTV水平的提高，表明貸款的擔保水平逐漸降低，銀行面臨的風險水平逐漸提高，因而住房抵押貸款的期權價值也隨之增加.

表2反映的是在不同的貸款期限下的住房抵押貸款的期權價值與貸款價格.從表3中可以看出，隨著住房抵押貸款的期限延長，住房抵押貸款的期權價值不斷提高.這是因為，隨著住房抵押貸款的期限延長，銀行面臨的不確定性增加，住房抵押貸款的期權價值因而隨之增加. 2.4 社會成本對期權價值的影響

傳統的期權定價技術被廣泛地應用在住房抵押貸款定價過程當中，然而其所得出的貸款價格與現實情況往往存在一定的偏差.Stanton（1995）［7］指出在實踐中，貸款的實際價格與純期權理論模型得出的價格存在明顯的差異，純期權理論模型往往高估了住房抵押貸款的期權價值.這是由于純期權定價模型假設借款人為理性人，然而現實情況卻是借款人在做決策時并非都是理性的，借款人的婚姻狀況、信用成本、交易成本等社會成本也會影響借款人是否會進行提前支付或者違約.在本文的期權定價模型中，增加了提前支付成本、違約成本兩個社會成本變量，以更好地描述現實狀況. 

圖4表明了在各種提前支付顯性成本下住房抵押貸款的期權價值變化趨勢.從圖中可以看出，隨著提前支付顯性成本的提高，住房抵押貸款的期權價值逐漸降低.當提前支付顯性成本達到一定水平之后（δe>0.14），住房抵押貸款的期權價值趨于平穩.說明了提前支付顯性成本能有效防止借款人的提前支付行為.此外，通過分析提前支付隱性成本，我們也可以得到相同的結論.通過變化違約成本td這一參數，得到在不同的違約成本下住房抵押貸款的期權價值，結果見表3.



從表3可知，隨著違約成本的增加，住房抵押貸款的期權價值無明顯變化.因此，商業銀行在實際住房抵押貸款過程中應該區分住房抵押貸款的違約成本與提前支付成本，注重提前支付成本控制風險的作用.

3 政策建議

根據分析結果，從銀行風險控制、國家宏觀調控等角度提出如下建議：

1）加強對房地產市場的宏觀調控.房價的波動直接影響著住房抵押貸款的期權價值，房價波動超過一定幅度（0.44）的時候，住房抵押貸款的期權價值增加非常明顯.當前我國房價的增長速度過快，已經超過普通購房者的承受水平，商品房的投機行為比較明顯，銀行已經積累了極大的風險.因此，需采用多種手段，分別從供給層面、利率和匯率等貨幣政策以及資本市場等方面加強房地產市場的宏觀調控，嚴格控制房價的波動幅度，以維護房地產市場的健康發展.

2）重視利率對房地產市場的影響.利率波動對住房抵押貸款的期權價值與貸款價格有較大影響.這一過程包括兩個途徑：一方面，利率的波動加大會增加住房抵押貸款的期權價值，刺激更多的借款人提前支付或違約，造成銀行損失；另一方面，利率波動的增加也會引起房價的波動加劇，引起借款人違約行為的發生.這兩種因素共同促使住房抵押貸款的期權價值不斷增加.因此，必須將利率因素同房價因素結合考慮，以防止房地產市場上房價的劇烈波動.

3）控制貸款價值比處于合理水平.貸款價值比是另外一個影響住房抵押貸款價格的重要因素.貸款價值比是銀行擔保程度的一個指標，在其他變量一定時，貸款價值比越小，銀行貸款受擔保的程度越大，其期權價值也就越小.因此降低貸款價值比能有效地降低銀行的風險水平.但是，如果貸款價值比設定過低，對借款人是不利的.比如銀行通過提高住房抵押貸款的首付率、降低貸款價值比來控制風險，一方面提高了住房抵押貸款的門檻，加大了借款人的購房負擔，另一方面也將中低收入的購房者排除在外，銀行也就損失了這部分借款人的市場，不利于住房抵押貸款的推廣.

4）區分社會成本的作用.社會成本包括提前支付成本與違約成本兩大類.分析表明，提前支付的顯性成本與隱性成本對住房抵押貸款的期權價值影響效果一樣，因此，銀行可以通過提高提前支付成本，有效地減小住房抵押貸款的期權價值來控制風險水平.借款人的違約成本包括借款人因違約帶來的信譽損失、搬家成本以及其他成本等.這些成本不會給借款人帶來諸如罰金之類的直接損失，它也屬于一種隱性成本.由于違約成本的增加對住房抵押貸款期權價值的影響很小，銀行在住房抵押貸款風險控制過程中首先應當區分各住房抵押貸款的提前支付成本、違約成本，著重控制提前支付成本，以更有效地控制住房抵押貸款的風險.

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