金融混沌Duffing-Holms模型及其控制方法研究

摘 要：分析并發(fā)掘了金融混沌的Duffing-Holms模型的序參量，提出了Duffing-Holms模型存在周期解的條件，這表明可以通過OGY方法和非線性同步方法對金融混沌進行控制.在進行OGY控制時，設(shè)定了Duffing-Holms模型的一個周期解，并通過數(shù)值模擬將混沌控制到該軌道上，結(jié)果指出要對中國金融市場進行有效的混沌控制，必須做好充分準備，對金融市場進行微調(diào).非線性同步方法的數(shù)值模擬結(jié)果顯示，可以通過確定一個市場為驅(qū)動系統(tǒng)，另一個為受控響應(yīng)系統(tǒng)，控制滬深兩市的混沌.

關(guān)鍵詞：金融市場；混沌；Duffing-Holms模型；OGY控制法；非線性同步

中圖分類號：F830.9 文獻標識碼：A

Study of the Duffing-Holms Model of Financial

Chaos and its Controlling Methods

ZOU Lin， MA Chao-qun， ZHANG Hong

(College of Business Administration， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China)

Abstract:The order parameter of Duffing-Holms model is analyzed and found out. Existence conditions of Duffing-Holms model's periodic solutions are put forward， which indicates that we can control financial chaos in OGY method and nonlinear synchronous method. One periodic solution is set out before numerical simulation of OGY is done. The conclusion has demonstrated that， to control effectively chaos in Chinese financial market， the government must prepare fully and adjust slowly. Finally， the conclusion of numerical simulation of nonlinear synchronous controlling has demonstrated that the government can control stock markets of Shanghai and Shenzhen by indentifying one market as the driven system and the other as the controlled response system.

Key words: financial market; chaos; Duffing-Holms model; OGY control method; nonlinear synchronous

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金融市場是聯(lián)系各國經(jīng)濟的橋梁與紐帶，由于金融市場波動大、信息傳輸快、流動性大，導(dǎo)致各國金融市場聯(lián)動效應(yīng)不斷增強，尤其是隨著現(xiàn)代技術(shù)水平的提高使投資成本降低，交易人數(shù)增加，交易更加頻繁，金融市場參與者的關(guān)系更加復(fù)雜，更加偏離線性模型，造成金融危機頻發(fā).而金融危機是金融市場混沌特征的一種表現(xiàn)，對這種金融風(fēng)險的控制問題一直困擾著金融監(jiān)管機構(gòu).無論是1987年美國股市的“黑色星期一”和1998年美國長期資本投資管理有限公司遭致的巨大虧損，還是由泰國金融市場蔓延到整個東南亞的金融危機以及中國股市的大起大落，都顯示著監(jiān)管機構(gòu)對金融混沌控制力不從心.

在金融市場中，混沌是一種有害的運動形式，它可能導(dǎo)致系統(tǒng)失控，使系統(tǒng)徹底崩潰.美國工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會（SIAM）在1988年發(fā)表的一份題為“控制理論未來的發(fā)展方向”的指導(dǎo)性文獻中，特別將“混沌的控制”作為一個新的研究方向.1990年，美國馬里蘭大學(xué)的物理學(xué)家E.Ott，C.Grebogi和J.A.Yorke基于參數(shù)擾動方法，首先提出了一種混沌系統(tǒng)的控制方法——OGY方法，成功地用于控制吸引子中的低周期軌道［1］，并被成功地應(yīng)用于一些經(jīng)濟系統(tǒng)的混沌控制上［2］.同年，L.M.Pecora，T.L.Carroll提出了混沌同步的思想.1991年，美國俄亥俄州大學(xué)物理學(xué)家Hunt提出了正比反饋控制法（OPF方法）.1992年，法國物理學(xué)家K.Pyragas提出了一種時間延遲反饋控制混沌方法［3］.以后十幾年，混沌控制和混沌同步的研究得到了蓬勃發(fā)展，這一方向迅速成為混沌研究領(lǐng)域的重要熱點.其他的一些混沌控制方法，比如：線性狀態(tài)反饋控制［4］、滑模控制［5］和自適應(yīng)李雅普諾夫控制［6］，都被廣泛應(yīng)用.

為了控制金融市場的混沌現(xiàn)象，溫紅梅等人建立一個三層結(jié)構(gòu)的金融風(fēng)險系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，運用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)同步控制［7］.姚洪興將古諾模型引入了金融領(lǐng)域，應(yīng)用直線控制法，實現(xiàn)了對混沌態(tài)的控制［8］．宋銀芳［9］、朱少平［10］、梅小華［11］等對一個由生產(chǎn)子塊、 貨幣、 證券子塊和勞動力子塊所組成的金融混沌系統(tǒng)進行了分析，分別用線性和非線性控制方法對其進行控制.周國紅［12］對Duffing-Holms模型進行了分析，姚洪興［13］等利用周期激勵法和恒定外激法對其進行控制.本文針對廣泛應(yīng)用于描述金融混沌的Duffing-Holms模型，發(fā)掘新的序參量，應(yīng)用OGY方法和非線性同步控制方法對其進行控制，并提出金融混沌的控制策略.OGY方法控制混沌只需對系統(tǒng)某一控制參數(shù)進行時變小攝動，就可以將混沌運動穩(wěn)定到指定的周期運動上.這種方法使得控制金融復(fù)雜巨系統(tǒng)產(chǎn)出的混沌現(xiàn)象變得簡單可行.非線性同步方法易于實現(xiàn)，并且收斂速度快.

1 Duffing-Holms模型及其序參量

Duffing-Holms模型是1918年Duffing在經(jīng)典力學(xué)中引入的一個具有擺動的非線性方程，被認為具有混沌現(xiàn)象的典例，在金融市場上得到了廣泛應(yīng)用.Duffing-Holms模型能較準確地描述一個復(fù)雜系統(tǒng)在不同條件下的各種狀態(tài)［14］，它的具體形式是：

+εδ+ax+bx3=εfcos (ωt)(1)

這是一個非自治的微分動力系統(tǒng).其中x表示金融市場的狀態(tài)，表示金融市場狀態(tài)變化的速度，表示金融市場狀態(tài)變化的加速度，δ表示政府對金融風(fēng)險防范的能力，ε表示政策的控制參數(shù)，f表示投機擾動參數(shù)，ω表示外力的頻率.

本文發(fā)現(xiàn)了該模型的序參量——外力頻率參數(shù)ω.其他參數(shù)取定時，當ω=0時，金融市場受到恒定的外力干擾，市場處于穩(wěn)定的狀態(tài)，見圖1，圖中所有的軌道從初值出發(fā)，經(jīng)過一段時間的迭代，系統(tǒng)逐漸收斂到一個平衡點.當ω≠0時，市場受到不斷變化的外力的干擾時，系統(tǒng)會逐漸失去穩(wěn)定，產(chǎn)生分岔，最終產(chǎn)生混沌，見圖2.

2 OGY方法控制Duffing-Holms模型產(chǎn)生

的混沌

利用OGY方法對系統(tǒng)進行混沌控制的步驟有兩步：首先要確定控制系統(tǒng)混沌的目標，也就是要找到系統(tǒng)的一個不動點或是一個周期軌道，然后是確定控制方法.一旦某個映射點進入前面指定的鄰域內(nèi)，就可以通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)p的擾動，使得映射點穩(wěn)定到周期軌道上來.本文首先給出系統(tǒng)（1）周期解存在的條件:

取初始值為［－1，0］，［-0.5，0］，［0，0］，［0.5，0］和［1，0］時，對Duffing-Holms模型利用OGY方法進行混沌控制后，得到的系統(tǒng)（10）的相圖如圖4所示.從圖中可以看出，無論從哪個初值出發(fā)，首先會沿著各自的軌道運行，但一旦靠近目標軌道（也就是本文前面得出的模型一個周期解）的時候，軌道都會被目標軌道控制下來，在目標軌道附近運行.

3 非線性同步控制方法控制Duffing-

Holms模型產(chǎn)生的混沌

混沌同步的基本思想就是將一個混沌系統(tǒng)劃分為兩個子系統(tǒng)，將其中一個作為驅(qū)動系統(tǒng)，完全復(fù)制另外一個子系統(tǒng)并作為響應(yīng)系統(tǒng)，然后將驅(qū)動系統(tǒng)的輸出信號作為響應(yīng)系統(tǒng)的輸入信號.首先將Duffing-Holms模型改寫成如下形式：

4 結(jié) 論

本文分別利用OGY方法和非線性同步控制方法控制Duffing-Holms模型，結(jié)果表明：根據(jù)OGY混沌控制方法的原理，只需要使用了微小的控制信號逐漸緩慢地控制混沌，并且系統(tǒng)在遠離目標軌道時，原來的運行軌道并沒有改變，這樣就保留金融系統(tǒng)原有的動力學(xué)性質(zhì).對金融市場的混沌控制要進行長期的準備，在金融市場處于穩(wěn)定，遠離混沌狀態(tài)的時候，政府監(jiān)管層應(yīng)該研究控制方案，對金融市場進行逐步調(diào)整；一旦金融市場失去穩(wěn)定或是進入混沌狀態(tài)，政府監(jiān)管層就不要對金融制度進行大幅度調(diào)整，而是應(yīng)該對政策進行微調(diào)，否則反而會加速市場混沌狀態(tài)的擴散.

滬深股市同處于中國經(jīng)濟發(fā)展的大環(huán)境下，面對的是相同的投資大眾，受著相同的因素的影響，它們有著相似的混沌動力學(xué)結(jié)構(gòu)，比如相關(guān)維都在2－3之間，李雅普諾夫指數(shù)都大于零［16］.雖然它們的發(fā)展程度有所不同，但是可以確定一個市場為驅(qū)動系統(tǒng)，另一個為受控響應(yīng)系統(tǒng)，利用非線性混沌同步控制方法對金融混沌系統(tǒng)進行控制， 可以控制兩個市場的混沌，使得滬深股市的同步穩(wěn)定地發(fā)展.

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