數學思想是數學教學的核心

一般來說，數學教材中蘊含著兩條主線：一是按邏輯體系編排的知識所構成的顯性主線，它是數學學科的外在形式，也是教師教和學生學的主要依據；另一條是數學的思想方法，它蘊含于知識的發生、發展和應用過程中，是隱性主線，它是數學發展的內在動力，是數學知識的“靈魂”。數學的核心要素是知識中蘊含的數學思想，不管是新授課、練習課還是活動課等，都是在單元核心思想指導下使不同課型體現不同的思想功能，體現不同的育人價值。在教學過程中，教師要有意識地挖掘和提煉知識發展過程中所蘊涵的這些思想和方法，有意識地運用這些數學思想和方法，使學生不僅在學知識，更是在學習數學的思想和方法，學習數學的本質和靈魂，這才是真正學習數學的本領。

下面就以蘇教版五年級《圓》這個單元為例，談談自己的一些做法。

一、新授課，有效設計教學，感受數學的思想與方法

新授課的特點是“新”，新技能、新知識、新方法等，因此，教師要采取有效的方法，讓學生能正確、清楚地感知教材，掌握知識，學會方法。《圓》這一單元蘊含的主要數學思想是無限逼近思想、運動變化思想、轉化思想等，確立了本單元的核心思想，展開的新授課《圓的認識》、《圓的周長》、《圓的面積》等就應該圍繞這幾種思想進行教學。

在《圓的認識》新授課中，圓的定義通過用圓規畫圓，結合圓規運動的過程把圓描述為一動點以一定點為圓心，定長為距離運動一周的軌跡，也可結合操場畫圓描述為當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓，要讓學生感受到運動變化的過程。還可設計畫正多邊形的方法來探究圓的形成，滲透無限逼近的思想等。

圓周率的推導可以用正多邊形邊長和與外接圓直徑的比值來探究，當正多邊形邊數越來越多時，比值越接近圓周率，這時的正多邊形越來越接近圓。這樣推導圓周率，滲透的是無限逼近思想。

又如圓面積公式推導的時候把圓轉化為近似長方形，既有轉化的思想，又滲透著無限逼近的思想，使學生認識到物質世界是運動的、變化的、可以相互轉化的，數學就是研究這些現實世界的空間形式和它們之間數量關系的一門科學。

二、練習課，靈活運用習題，鞏固數學的思想與方法

數學題千變萬化，題目數不勝數，如果都一一去做，既不可能也無必要，關鍵在于教給學生學會靈活分析的方法，掌握解題的規律。特別是我們平時的練習課，很多老師把它上成做作業課，做過講或講過做。這樣呆板、機械的練習，只會抑制學生思維的發展。如果把靜態的習題變為動態的操作題，把單一解題變成靈活的問題，不但能夠提高學生的解題能力，鞏固數學的知識與思想方法，還能提高學生的綜合實踐能力。

以蘇教版《圓的面積》練習課為例，107頁的練習十九第7題：下圖（圖1、圖2、圖3）“三個正方形的邊長都是3厘米，涂色部分的面積相等嗎？為什么？”本題的設計意圖是通過計算或觀察，總結出三個圖形的涂色部分面積相等。學生通過計算或觀察都能夠總結出涂色部分面積相等，但是解決問題的策略往往只知道用正方形面積減去空白面積，只停留在表層，沒有深入到解決問題的本質上去，也沒有得出規律性的東西。

我是這樣教學的：只出示圖1，讓學生求出陰影部分的面積，然后引導學生總結規律：你能在這個正方形中畫出比這個圓更大的圓嗎？學生怎么也畫不出比這個圓面積更大的圓了，最后得出：正方形中最大的圓是直徑等于正方形邊長的圓。

規律得出來以后，我并沒有就此罷休，把它作為解決下面問題的依據。要求學生發揮各自的想象力，動手設計出正方形減去一個最大圓面積的圖形，并要說出是怎么畫出來的。學生們興致盎然，積極性非常高漲，畫出了十幾種美麗的圖案（從圖2往后的都是學生自己設計出來的），

不少孩子是用 整個圖形的1/4進行旋轉、翻轉、平移、對折等變化而來，這里運用了轉化的思想、運動變化的思想、等級變形的思想、求同思想、求異思想等，收效很好。

通過這樣的教學，學生學到的何止是探討三個圖形涂色部分的面積相等，更有如何去探索數學規律，如何應用數學規律去創造數學，去創造數學美。所以，抓住本單元的核心要素有效開發習題，靈活運用習題進行鞏固練習，可以鍛煉孩子的靈活性思維，孩子們學到的是數學思想和方法，學到的是數學能力、空間想象能力、動手操作能力、手腦并用能力，感受到的是幾何世界的多彩性、豐富性，享受著數學世界的的美。

又如，第110頁的第10題：

劉大爺用15.7米的籬笆靠墻圍一個半圓形的養雞場（如左圖）。這個養雞場的面積是多少平方米？

本題的設計意圖是運用圓周長解決生活中的實際問題，根據書上提供的信息學生很容易解答出來，但是學生解答完這個題目以后，并不會留下深刻的印象，并無利用圓周長解決生活中的實際問題的意識。

于是我進行了改編：抽象的的文字全部刪除，題目中的數字和圖結合起來，變成數形結合，把數字15.7改為18.84，這樣便于計算，原來完整的雞圈圖拆成兩部分。

教學時，先出示第一部分小雞和墻的圖，緊接著出示18.84米長的籬笆。

師：同學們，劉大爺要用竹籬笆把這些雞圍起來，你能想到哪些數學問題？

生1：雞圈圍成什么形狀的？

生2：怎樣圍最美觀？

生3：怎樣圍雞圈面積最大？

師：能否給老大爺提些有益的建議呢？

生4：我想建議老大爺把雞圈圍成長方形，并且盡量長一些，這樣墻可以盡可能多地占用，面積也許會大一些。

生5：我反對，墻被占用得多，圍的長方形越長，面積會越小，應該是正方形的時候面積最大。

師：這就是剛才一個同學提出的怎樣圍面積最大的問題，等會兒我們具體研究圍成什么形狀面積最大。

生6：我想建議老大爺把雞圈圍成正方形，這樣方方正正的，很漂亮。

生7：我覺得，如果地方很大的，就把雞圈圍得盡可能大，這樣小雞在里面活動也自由；如果地方較小，靠近路邊，就盡可能圍成長方形，不影響路邊行人走路；如果老大爺愛美，就圍成正方形，這樣美觀。

師：你考慮問題很全面，很周到。

生8：我想建議劉大爺圍成半圓形，半圓形也很漂亮，面積不是太大，也不是很小。

師：呵呵！你肯定圍成半圓形面積不大也不小？

生8：我想是的。

師：那就請同學們拿起筆來，算一算，到底怎樣圍面積最大？圍成半圓形時面積是不是不大也不小？

通過計算驗證，圍成半圓形的時候，面積最大。

緊接著，我相機引導學生總結：由此，你們還能聯想到什么？能夠得到什么規律？學生通過討論、猜想、驗證得出：在周長一定的時候，圍成的圖形中圓面積最大。

這樣的練習課，學生不僅鞏固了運用圓周長和圓面積公式解決生活中的實際問題，而且數學應用意識得到了真正的提高，更重要的是問題意識的提高，解決問題能力的發展，同時通過這樣的靈活改變，對學生進行了數學思想和方法的教育，例如，極值思想、運動變化思想（一根繩子可以圍成長方形、正方形、圓等）、由分到合的思想、數形結合的思想、數學美的思想、人文思想等等。這樣的練習課，使數學知識得到了升華，數學能力得到了提升，數學思想與方法得到了靈活運用和鞏固。

三、復習課，舊知翻版變新知，升華數學的思想與方法

一般的復習課，就是回憶知識、結構整理、查漏補缺，用孩子們的感覺是“燙餿飯”，沒有新鮮感，很少新收獲。而抓住核心思想進行復習，復習課承擔的功能就是溫故而知新，舊知翻版變新知。

本單元復習，我設計了三個問題：1.通過下面的填空，你發現了什么？2.圓是怎樣形成的呢？以前哪些地方也用到運動變化的思想？3.圓的面積是怎樣推導出來的？以前還有哪些地方用到過轉化的思想和無限逼近的思想？

第1題，復習圓的一些基本知識如半徑、直徑、周長、面積的計算，然后讓學生觀察它們之間的變化，引導學生用擴大、縮小等知識說出半徑、直徑、周長、面積之間的變化關系，這個變化關系就是本節課的一個新知點，讓學生在溫故中知新。

第2題，復習圓的特征，讓學生復習畫圓的過程，體會圓是一個動點以定長繞一個定點運動后形成的軌跡，復習運動變化的思想，同時告訴學生點通過運動可以形成線（這里是曲線）。再讓學生回憶，以前還有哪些地方也有運動變化的思想，引導出兩直線位置關系結構的運動變化：兩直線平行，如其中一條開始旋轉，其位置關系結構立即開始變化，平行→相交、交角從略小于180°開始連續減小→垂直→相交、交角繼續減小直至略大于0°→平行。幾種基本幾何圖形形狀結構的運動變化：長方形一邊向對邊平移，將變出正方形，接著變回長方形，如該邊繞某頂點向對邊旋轉，逐漸變出梯形、三角形；平行四邊形某銳角逐漸增大（想象著擠壓它），將變出長方形，接著變回平行四邊形，如某邊繞某頂點旋轉，將變出梯形；菱形可壓縮成正方形，正方形可拉伸成菱形。

讓某一個面平移，正方體可變出長方體、長方體可變出正方體。縮小圓柱某底面面積至0，可變出圓錐。正方體、長方體和圓柱的側面展開后變成長方形，圓錐的側面展開后變成扇形。

某一面進行旋轉或平移后的軌跡，如果是正方形，旋轉后的軌跡可以得到圓柱體，如果平移得到的軌跡可以是正方體也可是長方體；如果是圓面，平移后的軌跡是圓柱，如果繞直徑旋轉后的軌跡就是球體等等。

第3題，復習圓面積公式的推導，把圓分割成越來越多等面積的近似三角形、再拼成近似的長方形，滲透了極限運動、轉化的思想方法。接著引導回憶在我們學過的內容中，哪些地方運用過這些思想，如一年級的湊十計算法，小數、分數之間的互相轉化、分數除法的計算轉化為乘法計算、小數乘法轉化成整數乘法計算、除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法、平行四邊形面積公式推導、三角形面積公式推導、梯形面積公式推導等等都應用了轉化的數學思想。

這樣的復習課，由一個知識點鏈接成了一棵知識樹，把點變成了線，把線變成了體，把散亂變成有序，把舊知變成了新知。不僅復習了基本知識與技能，還運用本單元的核心思想把整個小學階段的知識進行了一次梳理。很多知識孩子們以前只知道用來做題解題，但不知道其中蘊含的數學思想，通過復習，這些數學思想以及相關知識在孩子們的頭腦中栩栩如生，運用起來更是游刃有余，真正讓學生在溫故中知新。

四、活動課，開放自主揚個性，熔化數學的思想與方法

通過新授課、練習課、復習課的學習，學生對本單元主要數學思想的內核已經掌握得比較牢固，運用這些思想解決數學問題也比較熟練了。但是要把這些思想轉化為生活運用能力、綜合實踐能力，轉化為數學素養，還有一定的困難，因為這是由知識轉化為能力，由量變到質變的過程，也正是當前新課程改革棘手的問題。蘇霍姆林斯基說過：要想使知識不再成為死的行囊，使它們自覺地周轉起來，只有到實踐中去，才能使其轉化為孩子們自己的東西。

本單元的綜合實踐活動主題是圍繞幾種數學思想搜集生活中的格言、警句、成語、名人名言等，只要能夠體現本單元極限思想、運動變化思想、轉化思想等方面的都可以，不拘形式、不限字數。于是孩子們八仙過海各顯神通，搜集的情況如下：

體現事物都是運動變化的：“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同。”“士別三日將刮目相看。”“少小離家老大回，鄉音未改鬢毛衰”等等。

體現極限思想的：喬維泰利的《零極限》心理小說、“若不好到至極，就不算偉大。”“每一種事物都有一種極限，超越極限可能帶來的是升華或者是滅亡。”“相信自己，堅持自己，極限將被突破，卓越就在眼前，人生終將輝煌。”“欲無極限，禍亂生焉。”“明知不可而為之的干勁可能會加速走向油盡燈枯的境地，努力挑戰自己的極限固然是令人激奮的經驗，但適度的休息絕不可少，否則遲早會崩潰。”“創新無極限！只要敢想，沒有什么不可能，立即跳出思維的框框吧”等等。

體現轉化思想的：窮則思變，因禍得福，物極必反，虛心使人進步、驕傲使人落后等等。

這樣的數學綜合實踐活動課，是語文和數學的融合，是科學和哲學的融合，是社會和學校的融合，是知識和能力的融合，是教書和育人的融合。學生體會到數學不僅可以用來表達和研究科學，用來解決問題，還可以用來描寫人生，感悟做人的準則，激起孩子們對數學的熱愛，對生命價值的追求。

長期以來，人們總是視數學為工具性學科，只重視數學的工具性價值，把訓練學生的基本技能、基礎知識作為數學教學的唯一目標，有時竟變成一種空洞的機械解題訓練，把學生的生活空間擠壓在分數的爭奪上，學生的情感和精神生活在機械訓練中逐漸萎靡，創造性退化。這種工具性教學，忽略了數學的文化教育價值。如果我們抓住數學的核心思想，不同的課型承擔著不同的功能，就能使數學課堂從多側面多視角展現數學文化的魅力，用數學的思想提升學生的文化素養，從科學的數學走向文化的數學，使數學課堂折射出數學之美，折射出人生價值。

（陳家梅，泗陽雙語實驗學校，223700）