例析導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)的一個重要內(nèi)容，其內(nèi)涵豐富、應(yīng)用廣泛，并且已經(jīng)成為新課改以來高考和各地模擬試題中的熱點(diǎn)考查內(nèi)容之一。下面舉例說明導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。

我們先來回顧一下導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f '（x0）的幾何意義就是曲線y＝f（x）在點(diǎn)［x0，f（x0）］處的切線的斜率。

一 一個切點(diǎn)，雙重身份

例1，函數(shù)y＝f（x）的圖像在P處的切線方程是y＝－x＋8，求f（5）及f '（5）。〔蘇教版選修1－1習(xí)題3.1第2題〕

分析：本題把握切點(diǎn)的雙重身份——在曲線上，也在直線上。而直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知，即可求出縱坐標(biāo)f（5）。再者，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f '（5）即為曲線上點(diǎn)［5，f（5）］處的切線的斜率。

解：f（5）＝－5＋8＝3，f '（5）＝1。

二 一字之差，兩種題型

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程也是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，這里要注意的是——“在某點(diǎn)的切線”≠“過某點(diǎn)的切線”。在某點(diǎn)處的切線，切線的切點(diǎn)就是這一點(diǎn)，過某點(diǎn)的切線切點(diǎn)不一定是這個點(diǎn)，也可能是別的點(diǎn)，但是切線是經(jīng)過這一點(diǎn)的。

下面來看兩個具體的例子：

例2，（1）求曲線y＝3x－x3上在點(diǎn)A（2，－2）的切線方程。

（2）求曲線y＝3x－x3上過點(diǎn)A（2，－2）的切線方程。

分析：第（1）小問較為簡單，是求在點(diǎn)A（2，－2）的切線方程，則這點(diǎn)就是切點(diǎn)，直接由導(dǎo)數(shù)求出在該點(diǎn)處的切線的斜率就可以了。

第（2）問，是求過點(diǎn)A（2，－2）的切線方程，所以該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，這種情況下，一般都是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，用切點(diǎn)表示出切線方程，再將已知點(diǎn)代入，從而求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后由切點(diǎn)寫出切線方程。

解：（1）Q函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是y'＝3－3x2，y'|x＝2＝－9。

∴所求切線方程為y＋2＝－9（x－2），即9x＋y－16＝0。

（2）設(shè)切點(diǎn)（x0，y0）

Q函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是y'＝3－3x2，y'|x＝x0＝3－3x0。

∴所求切線方程為y－（3x0－x03）＝（3－3x02）（x－x0），又該切線過點(diǎn)A（2，－2），則－2－（3x0－x03）＝（3－3x02）（2－x0）。

解得x0＝2或－1。

則所求切線方程為9x＋y－16＝0或y＋2＝0。

三 一條切線，兩條曲線

例3，已知拋物線C1∶y＝x2＋2x和C2∶y＝－x2＋a，如果直線l同時是C1和C2的切線，則稱l是C1和C2的公切線，

公切線上兩個切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段。

（1）a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。

（2）若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。

分析：第（1）問，應(yīng)先求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)切點(diǎn)研究切線方程和公切線方程。

第（2）問，只需證明兩條公切線段有相同的中點(diǎn)。

解：（1）函數(shù)y＝x2＋2x的導(dǎo)數(shù)是y'＝2x＋2，設(shè)曲線C1上的切點(diǎn)為P（x1，x12＋2x1），則切線方程為y－（x12＋2x1）＝（2x1＋2）（x－x1）。

即y＝（2x1＋2）x－x12。

函數(shù)y＝－x2＋a的導(dǎo)數(shù)y'＝－2x，設(shè)曲線C2上的切點(diǎn)Q（x2，－x22＋a）的切線方程是y－（－x22＋a）＝2x2（x－x2）。

即y＝－2x2x＋x22＋a。

如果直線l是C1和C2的公切線，則 。

消去x2得方程：2x12＋2x1＋1＋a＝0。

當(dāng)判別式Δ＝4－4×2×（1＋a）＝0時，即 時，

解得 ，此時點(diǎn)P與Q重合。

即當(dāng) 時，C1和C2有且僅有一條公切線，而且所

得公切線方程為 。

（2）證明：由（1）可知，當(dāng) 時，C1和C2有兩

條公切線。

設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為P（x1，y1），Q（x2，y2），其中P在C1上，Q在C2上，則有：

x1＋x2＝－1

y1＋y2＝x12＋2x1＋（－x22＋a）

＝x12＋2x1－（x1＋1）2＋a

＝－1＋a

線段PQ的中點(diǎn)是（ ， ）。

同理，另一條公切線段P'Q'的中點(diǎn)也是（ ， ）。

所以，公切線段PQ和P'Q'互相平分。

點(diǎn)評：本題把導(dǎo)數(shù)與二次曲線位置關(guān)系融為一體，重在考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析問題、解決問題的能力。有關(guān)曲線切線的問題，一般都可用導(dǎo)數(shù)的幾何意義完成，曲線在某一定點(diǎn)處的切線是唯一的，因此斜率也是唯一的（若存在的話），采用斜率相等這一重要關(guān)系，往往都可解決這類問題。

〔責(zé)任編輯：王以富〕