例析導數的幾何意義的應用

導數的幾何意義是導數及其應用教學的一個重要內容，其內涵豐富、應用廣泛，并且已經成為新課改以來高考和各地模擬試題中的熱點考查內容之一。下面舉例說明導數的幾何意義的應用。

我們先來回顧一下導數的幾何意義：導數f '（x0）的幾何意義就是曲線y＝f（x）在點［x0，f（x0）］處的切線的斜率。

一 一個切點，雙重身份

例1，函數y＝f（x）的圖像在P處的切線方程是y＝－x＋8，求f（5）及f '（5）。〔蘇教版選修1－1習題3.1第2題〕

分析：本題把握切點的雙重身份——在曲線上，也在直線上。而直線上點的橫坐標已知，即可求出縱坐標f（5）。再者，由導數的幾何意義可知，f '（5）即為曲線上點［5，f（5）］處的切線的斜率。

解：f（5）＝－5＋8＝3，f '（5）＝1。

二 一字之差，兩種題型

應用導數的幾何意義求曲線的切線方程也是導數的重要應用之一，這里要注意的是——“在某點的切線”≠“過某點的切線”。在某點處的切線，切線的切點就是這一點，過某點的切線切點不一定是這個點，也可能是別的點，但是切線是經過這一點的。

下面來看兩個具體的例子：

例2，（1）求曲線y＝3x－x3上在點A（2，－2）的切線方程。

（2）求曲線y＝3x－x3上過點A（2，－2）的切線方程。

分析：第（1）小問較為簡單，是求在點A（2，－2）的切線方程，則這點就是切點，直接由導數求出在該點處的切線的斜率就可以了。

第（2）問，是求過點A（2，－2）的切線方程，所以該點未必是切點，這種情況下，一般都是設出切點坐標，用切點表示出切線方程，再將已知點代入，從而求出切點坐標，最后由切點寫出切線方程。

解：（1）Q函數的導數是y'＝3－3x2，y'|x＝2＝－9。

∴所求切線方程為y＋2＝－9（x－2），即9x＋y－16＝0。

（2）設切點（x0，y0）

Q函數的導數是y'＝3－3x2，y'|x＝x0＝3－3x0。

∴所求切線方程為y－（3x0－x03）＝（3－3x02）（x－x0），又該切線過點A（2，－2），則－2－（3x0－x03）＝（3－3x02）（2－x0）。

解得x0＝2或－1。

則所求切線方程為9x＋y－16＝0或y＋2＝0。

三 一條切線，兩條曲線

例3，已知拋物線C1∶y＝x2＋2x和C2∶y＝－x2＋a，如果直線l同時是C1和C2的切線，則稱l是C1和C2的公切線，

公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。

（1）a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。

（2）若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。

分析：第（1）問，應先求出兩個函數的導函數，再根據切點研究切線方程和公切線方程。

第（2）問，只需證明兩條公切線段有相同的中點。

解：（1）函數y＝x2＋2x的導數是y'＝2x＋2，設曲線C1上的切點為P（x1，x12＋2x1），則切線方程為y－（x12＋2x1）＝（2x1＋2）（x－x1）。

即y＝（2x1＋2）x－x12。

函數y＝－x2＋a的導數y'＝－2x，設曲線C2上的切點Q（x2，－x22＋a）的切線方程是y－（－x22＋a）＝2x2（x－x2）。

即y＝－2x2x＋x22＋a。

如果直線l是C1和C2的公切線，則 。

消去x2得方程：2x12＋2x1＋1＋a＝0。

當判別式Δ＝4－4×2×（1＋a）＝0時，即 時，

解得 ，此時點P與Q重合。

即當 時，C1和C2有且僅有一條公切線，而且所

得公切線方程為 。

（2）證明：由（1）可知，當 時，C1和C2有兩

條公切線。

設一條公切線上切點為P（x1，y1），Q（x2，y2），其中P在C1上，Q在C2上，則有：

x1＋x2＝－1

y1＋y2＝x12＋2x1＋（－x22＋a）

＝x12＋2x1－（x1＋1）2＋a

＝－1＋a

線段PQ的中點是（ ， ）。

同理，另一條公切線段P'Q'的中點也是（ ， ）。

所以，公切線段PQ和P'Q'互相平分。

點評：本題把導數與二次曲線位置關系融為一體，重在考查用導數的幾何意義分析問題、解決問題的能力。有關曲線切線的問題，一般都可用導數的幾何意義完成，曲線在某一定點處的切線是唯一的，因此斜率也是唯一的（若存在的話），采用斜率相等這一重要關系，往往都可解決這類問題。

〔責任編輯：王以富〕