巧用“聯想”解題

聯想是一個由此及彼的心理過程，解題時總是先細致觀察題目的題意和細微之處，充分挖掘隱蔽條件，然后深入分析因果關系，與此同時通過積極的聯想，找到已知和未知、新與舊、復雜與簡單的聯系，靈活運用一些問題的解法或結論去展開聯想，往往能使問題迎刃而解。

例1，求證：1 = 0.9。

證明：設0.9 = x，則10x = 10 × 0.9 = 9.9 = 9 + x，解得x＝1，∴1 = 0.9。

這是一道有趣的證明題，題目中是以x替換0.9，給了我們一個啟迪，使我們聯想到下一問題的解決。

例2，證明：＜ （a＞0）。

分析：本題若按常規方法，從外向內逐個去根號，則勢必陷入死胡同，現根據題目特征，轉換思維方式，展開聯想，構造數列可使問題迎刃而解。

證明：令tn =，則可構造數列tn2＝tn-1＋a

（n≥2，n∈N）。

又∵tn-1＜tn（n≥2，n∈N），∴tn2＝tn-1＋a＜tn＋a，∴tn2－tn－a＜0。

又∵tn＞0，∴ 。

例3，從和式 中必須除去哪些項，

才能使余下的項等于1。

解：由于除去的項及項數未知，所以不宜直接計算，將和式改成：

從變形中聯想到 （n∈N*），則本題可解出：

∴只須除去 、 。

例4，解不等式 。

解：原不等式可化為 ，由此我們

聯想到函數f（u）＝u3＋5u，則原不等式化為 ，

即 。

又∵f（u）是奇函數且為增函數，∴ ＞f (－x)，

∴ 。

∴ ，∴x＞－1。

例5，已知正數a，A，b，B，c，C滿足條件a＋A＝b＋B＝c＋C＝k。

求證：aA＋bB＋cC＜k2。

證明：原條件可化為a－k＋A＝0，由此我們聯想到方程

ax2－kx＋A＝0有根為1，∴Δ＝k2－4aA≥0，即aA≤ ，

同理bB≤ ，cC≤ ，∴aA＋bB＋cC＜ ＜k2。

例6，曲線l將正ΔABC分為等面積的兩部分（如圖1）。

求證：l≥ （其中l為曲線長，a為正ΔABC邊長）。

證明：題目乍一看，毫無頭緒，如補成圖2，則問題就能化為曲線l'＝6l，將正六邊形分成等面積的兩部分，求證l'≥

，此時，曲線所圍成的面積為定值 ，

這時聯想到面積相等的圖形以圓的周長最小，所以曲線l'面積為最小時，則是以A為圓心的圓，設其半徑為R，則SA＝πR2，

πR2＝ ，所以R＝ ，∴l'≥2πR＝2π ，

又∵l'＝6l，∴l≥ 。

上題的解法較為靈活，是通過聯想加上數形轉換而得出證明，所以解題時，思維一定要向外拓展，積極聯想，并在“靈”字上下工夫，這樣往往能得出簡捷的解題方法。

〔責任編輯：王以富〕