全面認識中學數學中的“數形結合”

【摘 要】數形結合思想是把代數上的“數”與幾何上的“形”結合起來考慮問題，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，對題目中的條件和結論，既分析其代數含義，又挖掘其幾何背景，在代數和幾何的結合上尋找解題思路。

【關鍵詞】數形結合 方程 方法 圖形

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）08－0170－01

數形結合，不僅是一種重要的解題方法，而且是一種重要的思維方法，它在中學數學中占有重要的地位，在中考數學試題中是重點考查、運用的數學思想方法之一。

一 中學數學中的“數形結合”

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，其本質就是研究數與形兩個問題：這兩個問題是數學教學的基礎，所有的數學問題都是圍繞著這兩個問題而展開的。每個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解題中依據題目中所提供的信息及數量關系的結構特征，通過作圖（函數圖象、幾何圖形、示意圖）來表述、反映問題中數量間個元素的關聯，同時對圖形實施某些操作，往往能使問題輕松得到解決。而形的問題借助數去思考，把代數、幾何知識相互轉化，相互利用。解題過程使“數”與“形”各展其長，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地統一起來，這就是數形結合的思想方法。

數形結合思想是把代數上的“數”（代數式或變量之間的數量關系）與幾何上的“形”（曲線或區域）結合起來考慮問題，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，也就是對題目中的條件和結論，既分析其代數含義，又挖掘其幾何背景，在代數和幾何的結合上尋找解題思路。數形結合中的“數”，既是一般意義上的數，如實數、復數等，也可以是表示數的式，如代數式或超越式，甚至它還可以是變數即函數；“形”當然是各種形式的數的幾何圖形表示。

在解決與幾何圖形有關的問題時，將圖形信息轉換成代數的信息，利用數量特征，將其轉化為代數問題，這就是數形結合中的又一個重要方面——以數解形；在解決與數量有關的問題時，根據數量的結構特征，構造出相應的幾何圖形，即轉化為幾何問題，給數學問題以直觀圖像的描述，揭示出問題的幾何特征，變抽象為形象，這就是數形結合中的另一個重要方面——以形助數。

二 “數形結合”具體解題指導

1．運用數形結合的主要途徑

第一是通過坐標系。幾何形式具有直觀形象的優勢，代數形式也具有便于計算的長處，因而也有具有操作程序化的優勢。具體在解決問題時最好將二者結合起來。

第二是轉化。通過分析數式的結構，把問題轉化到另一個角度考慮，比如：數學中有很多概念，如距離、角度、斜率、點集、實數的絕對值都有明顯的幾何背景，它們都是容易轉化成“形”的，因此題目中設計到這些問題時，可以用數形結合法來解決。

第三是構造。通過構造幾何模型，構造函數式，構造圖標等等。比如：函數的圖像為數形結合帶來了便利條件，從圖像上尋找突破口常常是解決問題的關鍵。如果方程自身或方程兩邊（或通過變形）的表達式有明顯的幾何意義，可以把抽象的數量關系轉化成圖形來解決。由于方程的解是函數圖像的橫坐標，因此，對一些解起來很困難的方程，用數形結合的方法求解是很重要的方法，特別是判斷方程解的個數，而不是求方程的具體值時，這樣解題更方便，也使問題解得簡單、直觀、明了，省略了繁雜的運算過程。

2．運用數形結合的基本思路

第一，根據數式的結構特征，通過上述三個途徑，作出與之相適應的幾何圖形（“數”上構形），并利用圖形的特征和規律，解決數式問題，就是利用圖形分心問題，由題目本身提供信息，在作圖過程中，實施一系列實驗性操作，邊畫圖、邊分析、邊思考、邊解決。

第二，將圖形的信息部分或全部轉換成代數信息，消弱或清除形的部分（形中覓數），使要解決的形的問題轉化成數量關系的討論。使問題得到解決。

3．需要注意的問題

數形結合雖然有利用解決思路，探究結論，優化解題過程，但應該注意的是：（1）它是解答選擇題和填空題的有效方法，在解答題中應慎重使用，若應用時，解答過程應盡可能表達清晰、詳盡，某些運算或推理過程不得隨便省略。（2）有些數式雖然有一定的圖形背景，但求解不一定簡單，可見它有一定的局限性，不應過分依賴及片面追求，只需將常見的數形轉化類型的題目掌握好，運用好就可以。（3）在分析問題和解決問題時，要注意解析語言的意義及其運用，要掌握圖形語言、符號語言及文字語言的互化，自覺地“由形到數”與“由形變數”地運用數形結合的思維方法。

通過原形來注釋許多代數問題都可以通過畫出圖形或圖象找到直觀的解釋，從而受到啟發找到解題捷徑，簡化解題過程，但需要注意的是：（1）圖象解題的嚴密性；（2）圖形與原來題意的等價性；（3）圖形的準確性；（4）圖象的簡單性；（5）圖形的完整性。

總之，數形結合思想方法有助于概念的相互轉化，從而利用數形的辯證統一和各自的優勢尋覓出解決問題的途徑，使初看很難或者很繁瑣的數學問題變得簡單和容易。數形結合是一種典型的數學信息轉換，它具有直觀性、靈活性、深刻性和綜合性的特點。因此，數形結合是一把“雙刃劍”，特別對解答選擇題和填空題則是一條重要的捷徑。

〔責任編輯：陳晨〕