運用信息技術提高學生探究和解決問題的能力

【摘 要】新課程標準提出：注重現代信息技術與課程的整合，強調培養發展學生探究和解決問題的能力。本文主要是介紹了在課堂教學中如何充分利用信息技術提高學生探究問題的能力，從而提高學生的學習興趣和培養學生以科學的態度去探究分析問題的能力。

【關鍵詞】信息技術 幾何畫板 探究 解決 能力

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）12－0130－02

20世紀70年代以后，我國著名數學家吳文俊在幾何定理機器證明上做出了重大貢獻，并創立了“吳方法”。吳文俊機器證明的思想，主要是從笛卡兒的坐標法和中國古代解方程的計算方法而來的，他認為，歐氏幾何體系的特點是純粹地在空間形式間推理，或在圖形之間，或者是把數量關系歸之于空間形式，或者干脆排除掉數量關系。另一個體系剛好與之相反，是把空間形式轉化成數量關系來處理。吳文俊認為，歐氏幾何體系是非機械化的，把空間形式數量化是機械化的。吳文俊說：“對于幾何，對于研究空間形式，你要想真正騰飛，不通過數量關系，就想不出有什么好辦法。”“我從事幾何定理證明時，首先取適當的坐標，于是幾何定理的假設與終結通常都成為多項式方程，稱之為假設方程與終結方程。滿足定理假設的幾何圖像，就相當于假設方程組的一個解答或零點。要證明定理成立，就要證明假設方程的零點，也使終結多項式為零。”由于計算機的發展歸功于眾多數學家的努力，大約在1976～1977年，幾何定理機器證明的夢想終于實現了。從吳文俊數學家的話以及新課標的精神來看，信息技術在一些數學問題上成為了一種重要的研究手段。

在這里本人淺談幾點教學中運用幾何畫板的一點體會，《幾何畫板》是一個適用于幾何教學的軟件平臺，它為老師和學生提供了一個觀察和探究幾何圖像內在關系的環境。學生通過觀察圖形及動畫、猜測，并用數學思想方法驗證。在觀察、探索、發現的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐富的幾何經驗，從而加深對內容的理解，提高探究能力和學習興趣。

在學習了模塊2第三、四章后，針對最近練習題中一些比較難的問題，我特地上了一節習題課：如何利用《幾何畫板》來幫助我們解題，即提高我們探究和解決問題的能力。

【教學分析】

解析幾何是數與形相結合的研究方法，是用代數方程研究幾何性質的數學分支，它以坐標系為工具，坐標法為方法，所以，教學中要始終貫徹解析思想，讓學生重視數形互助，培養代數與幾何意義互相轉化的能力。直線和圓的方程是最基本的曲線方程，是后繼學習圓錐曲線的基礎。解析幾何是高中階段的重點也是難點，很多學生常常在這里停止了前進的步伐。因此，在起始階段就應該讓學生有信心并且樂意學下去，在這節課里采用與信息技術相結合的方法激發學生的學習興趣和提高他們的探究能力。

【教學目標】

運用《幾何畫板》提高學生的學習興趣及探究能力；加強學生解決解析幾何及其他涉及圖形問題的能力。

【教學重點】

運用信息技術提高學生的探究能力。

【教學難點】

合理利用信息技術解決問題。

【教具準備】

《幾何畫板》軟件。

【教學過程】

一 通過觀察動畫，判斷點的運動軌跡

例1，已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓（x＋1）2＋y2＝4上運動，求線段AB的中點軌跡方程。

師：如圖1，根據題

意，在《幾何畫板》中作

出點B（4，3），及圓的方

程，然后在圓上取點A，

接下來取線段AB中點M，

設計點A生成點的動畫，

跟蹤點M的軌跡。當點A

運動時，點M運動形成軌

跡，猜想點M的軌跡是圓，進而用“坐標法”證明猜想成立。

解：設圓（x＋1）2＋y2＝4的圓心為P（－1，0），半徑長為2，線段AB中點為M（x，y），取PB中點N，其坐標

為（ ， ），即N（ ， ）。

∵M、N為AB、PB的中點。

∴MN∥PA且MN＝ ，PA＝1。

∴動點M的軌跡為以N為圓心，半徑長為1的圓。

所求軌跡方程為：（x－ ）2＋（y－ ）2＝1

師：通過動畫演示可以清楚地看出點的運動軌跡，所以，可以直接根據點的幾何特點求出點的軌跡方程，事實上本題也可以考慮用相關代入法，課外可請同學們試試。

練習：設是圓x2＋y2＝4的一條直徑，以AB為直角邊，B為直角頂點，逆時針方向作等腰直角三角形ABC，當AB變動時，求C點的軌跡。（讓學生上臺親自操作，體驗圖形特點）

二 運用《幾何畫板》求解取值范圍

例2，（教材精細精練P74.10題）：已知實數x，y滿足

y＝ ，試求m＝ 及b＝2 x＋y的取值范圍。（見圖

2、圖3）

師：這種題型是高考熱點題型，主要可以體現學生對數學結合的應用能力。通過動畫可以看出，當直線過點C時，b取最小值－ ，當直線過點A，即直線與圓相切時，b取最大值 。

三 運用《幾何畫板》尋找解題思路

例3，（報紙13期22題）：已知圓O的方程為x2＋y2＝1，直線l1過點A（3，0），且與圓O相切。

（1）求直線l1的方程。（2）設圓O與x軸交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點P'，直線QM交直線l2于點Q'。已知以P'Q'為直徑的圓C總經過某一定點，求此定點坐標。

師：本題對高一學生來說有一定難度，直接推導的過程也比較復雜。同學們，我們先同樣利用幾何畫板，作好圖像，然后設計點M的動畫效果，最后再來觀察所求圓在變化中具有怎樣的特點？（學生觀察動畫，并猜想，討論共花了5分鐘）

學生：這些圓都通過以點A為圓心，以EF（E、F在x軸上）為直徑的圓。

師：回答得很好，信息技術的力量確實神奇，我們借助它的力量猜想了結果，那么現在就來證明一下結果是否正確。

【設計意圖】我們對事物做出一種判斷，總是基于對這一事物的觀察、實驗、思考，而讓學生反復觀察、實驗、發現的過程在傳統的教學中很難實現。《幾何畫板》正是理想地幫助學生從動態中觀察、實驗、探索、發現的工具。

四 利用《幾何畫板》解決截面問題

例4.（期末復習材料3）

如圖5，棱長為2cm的正方

體容器盛滿水，把半徑為1cm

的銅球放入水中剛好被淹沒，

然后再放入一個鐵球，使他

淹沒水中，要使流出來的水

量最多，這個鐵球的半徑應

該為多大？

師：本題如何直接進行

解答，需要有很好的空間想象能力。現在我們通過《幾何畫板》作圖，并取出過對角面的截面平面圖像，如上。

解：設鐵球半徑為r則，依題意可得：

OE＝r，HE＝1，AH＝ 所以有， ＝

即 ＝ ，解得：r＝2－

【設計意圖】使同學們的空間想象能力進一步提高，并懂得利用截面方法解決此類問題。

五 利用《幾何畫板》研究兩圓方程相減所得的直線特點

例5：已知圓C1∶x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2∶x2＋y2－4x－4y－2＝0，試研究兩圓相減得直線方程所在直線的特點。

師：我們先作出兩圓的圖像，作出兩圓的交點，請求出過兩交點的直線方程。

生：求出的直線方程與兩圓方程相減的結果一樣。

師：很好，這就是過兩圓交點的公共弦所在的直線方程。不過此時是兩圓相交，若兩圓不相交呢？比如，圓C3∶x2＋y2－6x－6y＋17＝0與圓C1的關系怎樣？兩圓方程相減所得直線方程有什么特點？

生：（通過計算及觀察）所得的直線與兩圓不相交，與兩圓心的所在直線垂直。

師：好！同學們總結得很好，今天我們主要共同研究了這些內容，現在請大家一起回憶一下今天所學的內容（讓學生回答）。

五 總結

學習是在一定的情境下，通過交流和協作而實現的過程，學習并非是主體對客體簡單、被動的反映，而是一個主動建構的過程，學習過程不是先從感覺經驗開始的，而是從對該感覺經驗的選擇性注意開始的；“情境”、“協作”、“會話”和“意義建構”是學習環境中的四大要素，而“情境”是吸引學生選擇性注意的關鍵，為學生主動探究學習造就了環境。如《幾何畫板》等數學軟件不僅能夠準確、快速地計算和作圖，而且還能動態展現不變的幾何關系，并提供精確的測算功能，為數形結合奠定基礎，將數據、圖像、表達式進行多元聯系表示，是數學探究學習的便利工具。通過《幾何畫板》設計的數學試驗創設探究性學習情境，通過師生“協作”與“會話”，逐步對新知識進行全面準確的建構。

因此，在高中的教學中，本人認為應該培養學生運用信息技術解決和探究數學問題的能力。而事實上當上完這堂課后，學生是異常興奮的，因為他們能感受到一些復雜的數學問題并不是一定都要考動手運算，而是要運用信息技術提高探究和解決問題的能力才能夠取得更好的效果。當上完這堂課，我告訴學生“課外多去做題，把一些難的問題，可以考慮與信息技術結合起來，經常做，也許有一天你也會成為數學家。”

〔責任編輯：高照〕

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