基于知識心理發生視角下的中學數學教學

【摘 要】從數學知識心理發生的角度探討中學數學教學，提出在學生的潛在建構區內進行教學指導，偏向于學生數學知識心理發生的過程，增加一些促使學生建構知識的活性因素——關鍵的數據節點，為學生觀念的再生創造條件，有利于促進學生元認知能力、學習能力、思維能力、問題解決能力的發展。

【關鍵詞】知識心理 潛在建構區 數學教學 數據節點

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）19－0152－02

從知識心理發生的角度來說，學生在學習數學新知識前，已經先在地掌握了不少數學知識，但這些數學知識與存儲在書本上的、外在的知識不同，它們在學生的大腦中與意識機能中的數學觀念和思想相融合，形成了能動的、處于待命狀態的、相互之間有機聯系的眾多的知識群。

學生在解決數學問題時，要抓住問題的內在結構，找出亂團，從“亂團”中選擇一項或幾項的關聯作為數據節點，然后以數據節點為中心，調用眾多的知識群，從中選出一個或幾個知識群作為套用數據節點的“場”，將要解決問題表征的眾多數據吸附到這個“場”內，在“場”內由意識機能對其進行調整、組合、排序或重構，使之形成相對有序的、能動的數據矩陣，然后對形成的數據矩陣進行判斷、選擇、權衡、提煉與發展，最終將生成的數據矩陣與構成“場”的知識群兩者之間進行比較、對比，試圖匹配。

斯特弗（Steffe）依據數學教學實踐活動提出了潛在建構區理論（Zones of potential construction縮寫為ZPC）。斯特弗認為“潛在建構區”是由教師對每個學生潛在學習能力的認識而建構的、學生大腦中的學習區之一。學生在各自的ZPC內，通過獨立學習或相互交流學習新概念，引發自身的認知結構產生潛在的變化，進而形成更完善的認知結構。在實際的數學教學實踐中，根據ZPC理論，教師要關注學生的ZPC，在學生的潛在建構區內給予學習上的幫助，促進學生的數學學習和數學水平的發展。

ZPC的構建涉及教師對學生知識群（“場”）的潛在重組和改造。教師在學生的ZPC內提供能表征數據節點的數學環境，使學生通過數據節點激活內在的知識群，進而讓學生自主構建能吸附數學問題表征的各種數據并將其形成能解決問題的數據矩陣的“場”，是有利于促進學生元認知能力、學習能力、思維能力、問題解決能力的發展的。下面舉例加以說明：

問題1：已知a1＝3，an＋1＝3an－2，求{an}的通項公式。

解：由an＋1＝3an－2，得an＋1－1＝3（an－1），

因a1＝3，故an－1＝2≠0，

所以，數列{an－1}是首項為a1－1＝2，公比為q＝3的等比數列，所以，an－1＝2#8226;3 n－1，即an＝1＋2#8226;3n－1。

解決此問題的“構造數列”觀念，構成了套用問題所提供的數據的“場”，它是由學生通過探究數據特征，結合本身的知識群而生成的，而非簡單的答案邏輯。有的學生沒有獲得“構造數列”這種“場”，就不能將題目所表征的信息構建成有效的數據矩陣，其意識機能會停止進一步的“匹配”動作，同時，選擇和調用其他由節點數據形成的已經其數學觀念整合的“場”，如他可能選擇“累加法”或“數學歸納法”作為套用問題表征的信息的“場”。

要讓學生能順利解決問題，關鍵在于教師在教學中讓學生形成能夠將問題所表征的信息構建成有效的數據矩陣的 “場”。那么這種“場”是教師直接提供給學生還是讓學生主動建構呢？

如果教師按照答案邏輯設計教學，將“構造數列”這一套用問題信息的知識群（“場”）直接交給學生，這只是對已掌握的數學概念進行再次強化，學生未經歷“場”的形成及“數據矩陣”與“知識群”的匹配過程，學生的意識機能未形成一種反應機制，“構造數列”這樣新概念就沒有活性。但是在實際的數學教學中，對于每一個知識點和方法都要求由學生自主摸索、主動建構是不現實的，也是不必要的。因此，要提高數學知識形成的效率，我們可以在學生的ZPC內提供恰當的數據節點，在學生意識機能的作用下激活與數據節點關聯的知識群，以形成能夠將問題表征的信息構建成有效的數據矩陣的“場”。

提供問題1的目的是為了滲透“構造數列”這一數學觀念，為了能夠將這種數學觀念滲透到學生的意識機能中，我們以數據節點的方式作了如下的設計：

師：請解決以下問題（1）已知a1＝3，an＋1－1＝3（an－1），將an－1、an＋1－1看成一個整體，你會從中發現什么？

生甲：數列{an－1}是以a1－1＝3－1＝2為首項，公比為q＝3的等比數列。

生乙：我們可以寫成an－1＝2#8226;3 n－1，進而可化成an＝ 2#8226;3n－1＋1。

師：很好，這里我們有一個整體化思想。我們將問題（1）中的an＋1－1＝3（an－1）展開化簡得an＋1＝3an－2，下面提第二個問題：（2）已知a1＝3，an＋1＝3an－2，求{an}的通項公式。

生：可以轉化為問題（1）來解決，只要將an＋1＝3an－2變形為an＋1－1＝3（an－1）。

至此，學生已生成了“構造數列”這一解決問題的“場”，剩下的問題只要將“構造數列”這一觀念進行邏輯性的、精煉的表達就可以了。

數學答案的邏輯過程是數學知識心理發生過程的逆向表達，邏輯過程強調簡練，而心理過程要求自然。在本教學設計中，沒有給學生較多課堂上的時間去自己構造這種套用外在問題的知識群（“場”），也沒有將“構造數列”這一觀念直接交給學生，而是通過在學生的ZPC內設置恰當的節點式信息，將知識產生的邏輯過程利用學生掌握了的數學觀念來生成“構造數列”這一新的觀念，讓學生高效地經歷了觀念的再生過程，并在此觀念引導下進而形成解決問題的可操作的邏輯的程序（解法）。

從數學知識心理發生的角度出發，在學生的潛在建構區內按知識心理發生的過程，增加一些促使學生建構知識的活性因素——關鍵的數據節點，為學生觀念的再生創造條件，進而有效提高學生的學習質量和效率。

參考文獻

［1］張桂春.激進建構主義教學思想研究［M］.大連：遼寧師范大學出版社，2001

［2］張奠宙、宋乃慶.數學教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2004

［3］羅增儒、李文銘.數學教學論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2002

〔責任編輯：王以富〕