高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力

眾所周知，數(shù)學(xué)離不開運(yùn)算。特別是高中數(shù)學(xué)，很多學(xué)生反映運(yùn)算量大，在眾多練習(xí)和測試中，計(jì)算失誤更是比比皆是。究其原因，往往是學(xué)生不能尋求合理的運(yùn)算途徑，不會恰當(dāng)運(yùn)用有效的解題策略和方法，導(dǎo)致運(yùn)算繁雜，或者算不下去，或者中間過程出現(xiàn)問題，錯(cuò)誤和失誤也就在所難免了。針對以上問題，筆者認(rèn)為，如果能夠有意識的運(yùn)用以下策略和方法，對簡化運(yùn)算和提高運(yùn)算能力會起到有效的作用。現(xiàn)舉例說明如下。在解析幾何中，運(yùn)用平面圖形的幾何性質(zhì)，可以簡化運(yùn)算。

例(南京市2009年第一次調(diào)研測試卷)已知橢圓C：+=1的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是A和F，直線l：x=9，N為l上一點(diǎn)，且在x軸上方，過A、N、F三點(diǎn)的圓與y軸交于P、Q兩點(diǎn)，求| PQ |的最小值。

分析：標(biāo)準(zhǔn)答案給出的方法是，先用待定系數(shù)法求出圓的方程，然后與y軸的方程聯(lián)立，解方程組，建立| PQ |關(guān)于t的函數(shù)，最后運(yùn)用二次函數(shù)的知識求最小值(注：t為N點(diǎn)的縱坐標(biāo))。上述思路自然流暢，但是由于運(yùn)算量較大，只有少數(shù)學(xué)生能算出正確結(jié)果，而如果運(yùn)用直線和圓的幾何性質(zhì)，則省時(shí)省力，給人以四兩撥千斤的感覺。

解：由A(-6，0)、F(4，0)，容易知道過A、N、F三點(diǎn)的圓的圓心G在直線m：x＝-1上，過G作GK上y軸，垂足為K，在直角三角形GKP中，|PQ|＝2|PK|＝2＝2，因?yàn)镚在直線m：x＝-1上，N在直線l：x=9上，所以| GN |的最小值是10，因此| PQ |的最小值是6。

再舉兩例，供讀者參考。

(1)已知拋物線C：y＝4x，F(xiàn)(1，0)，A(2，2)，P是C上任意點(diǎn)，求|PF|十|PA|的最小值(利用拋物線的幾何性質(zhì))。答案：3。

(2)已知A(-，0)，B是圓F：+y=4(F為圓心)上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交 BF于P，求動點(diǎn)P的軌跡方程。

分析：充分利用中垂線和圓的幾何性質(zhì)，可以得到|PA|十|PF|＝2>1＝|AF|，再根據(jù)橢圓的定義知道，點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓，最后利用橢圓的幾何性質(zhì)，即可寫出動點(diǎn)P的軌跡方程。

運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，可以化難為易。轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學(xué)思想方法，幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解答都離不開轉(zhuǎn)化。如數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，空間問題要轉(zhuǎn)化為平面問題，數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化與變換，等等。如果解題時(shí)恰當(dāng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，不僅可以尋求合理的解題思路，也可使計(jì)算過程大為簡化，現(xiàn)舉例說明。

例(2006年高考數(shù)學(xué)福建卷)已知函數(shù)f(x)=-x+8x，g(x)=61nx+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)和y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在，求出m的取值范圍。若不存在，說明理由。

分析：可以通過構(gòu)造函數(shù)S(x)=g(x)-f(x)，函數(shù)S(x)三個(gè)零點(diǎn) y=S(x)的圖象和x軸有三個(gè)交點(diǎn)，然后用導(dǎo)數(shù)知識畫出S(x)的圖象，即可使問題得到解決。

解：令S(x)=x-8x+61nx+m，則S′(x)=2x-8+，由S′(x)=0得x＝1或3，列表知S(x)=S(1)＝m-7，S(x)＝S(3)=m+61n3-15，根據(jù)圖象，欲使函數(shù)S(x)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)S(1) >0且S(3)<0，解得7

再舉幾例，供讀者參考。

(1)若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

分析：本題源于2009年高考數(shù)學(xué)山東卷，有一部分好學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識直接求解，導(dǎo)致難以算出結(jié)果，而運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法則簡捷的多。思路如下：函數(shù)f(x)＝a-x-a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn) 方程a-x-a=0有兩個(gè)根 方程a＝x+a有兩個(gè)根 函數(shù)g(x)＝a和h(x)＝x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象易得a>1。

(2)已知x+y+=25，求+的取值范圍。

分析：50=25+25=x+y+25，采用配方法即可將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。

(3)一個(gè)四面體的三組對棱相等，長度分別是、 和，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，求此球的表面積。

分析：將此四面體放在一個(gè)長方體中，這樣就把四面體的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題。簡解如下：設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，球半徑為R，球的表面積為S，則有a+b＝5，a+c＝10，b+c＝13，(2R)=a+b+c，S=4πR，易得球的表面積是14π。

通過以上例題的分析和解答可以看出，只要我們能夠根據(jù)題目特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用以上的策略和方法來處理一些看似“繁雜”的計(jì)算問題，長期堅(jiān)持下去，對簡化運(yùn)算和提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性一定會大有益處。以上見解，還不全面，不當(dāng)之處，敬請各位同行和學(xué)者指正。

（作者單位：江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文