高中數學教學中如何提高學生的運算能力

眾所周知，數學離不開運算。特別是高中數學，很多學生反映運算量大，在眾多練習和測試中，計算失誤更是比比皆是。究其原因，往往是學生不能尋求合理的運算途徑，不會恰當運用有效的解題策略和方法，導致運算繁雜，或者算不下去，或者中間過程出現問題，錯誤和失誤也就在所難免了。針對以上問題，筆者認為，如果能夠有意識的運用以下策略和方法，對簡化運算和提高運算能力會起到有效的作用。現舉例說明如下。在解析幾何中，運用平面圖形的幾何性質，可以簡化運算。

例(南京市2009年第一次調研測試卷)已知橢圓C：+=1的左頂點和右焦點分別是A和F，直線l：x=9，N為l上一點，且在x軸上方，過A、N、F三點的圓與y軸交于P、Q兩點，求| PQ |的最小值。

分析：標準答案給出的方法是，先用待定系數法求出圓的方程，然后與y軸的方程聯立，解方程組，建立| PQ |關于t的函數，最后運用二次函數的知識求最小值(注：t為N點的縱坐標)。上述思路自然流暢，但是由于運算量較大，只有少數學生能算出正確結果，而如果運用直線和圓的幾何性質，則省時省力，給人以四兩撥千斤的感覺。

解：由A(-6，0)、F(4，0)，容易知道過A、N、F三點的圓的圓心G在直線m：x＝-1上，過G作GK上y軸，垂足為K，在直角三角形GKP中，|PQ|＝2|PK|＝2＝2，因為G在直線m：x＝-1上，N在直線l：x=9上，所以| GN |的最小值是10，因此| PQ |的最小值是6。

再舉兩例，供讀者參考。

(1)已知拋物線C：y＝4x，F(1，0)，A(2，2)，P是C上任意點，求|PF|十|PA|的最小值(利用拋物線的幾何性質)。答案：3。

(2)已知A(-，0)，B是圓F：+y=4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交 BF于P，求動點P的軌跡方程。

分析：充分利用中垂線和圓的幾何性質，可以得到|PA|十|PF|＝2>1＝|AF|，再根據橢圓的定義知道，點P的軌跡是以A、F為焦點，長軸長為2的橢圓，最后利用橢圓的幾何性質，即可寫出動點P的軌跡方程。

運用轉化的思想方法，可以化難為易。轉化是重要的數學思想方法，幾乎每一個數學問題的解答都離不開轉化。如數與形的互相轉化，空間問題要轉化為平面問題，數學語言的相互轉化與變換，等等。如果解題時恰當運用轉化的思想方法，不僅可以尋求合理的解題思路，也可使計算過程大為簡化，現舉例說明。

例(2006年高考數學福建卷)已知函數f(x)=-x+8x，g(x)=61nx+m，是否存在實數m，使得y=f(x)和y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點?若存在，求出m的取值范圍。若不存在，說明理由。

分析：可以通過構造函數S(x)=g(x)-f(x)，函數S(x)三個零點 y=S(x)的圖象和x軸有三個交點，然后用導數知識畫出S(x)的圖象，即可使問題得到解決。

解：令S(x)=x-8x+61nx+m，則S′(x)=2x-8+，由S′(x)=0得x＝1或3，列表知S(x)=S(1)＝m-7，S(x)＝S(3)=m+61n3-15，根據圖象，欲使函數S(x)有三個零點，當且僅當S(1) >0且S(3)<0，解得7

再舉幾例，供讀者參考。

(1)若函數f(x)=a-x-a(a>0且a≠1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是_____。

分析：本題源于2009年高考數學山東卷，有一部分好學生運用導數知識直接求解，導致難以算出結果，而運用轉化的方法則簡捷的多。思路如下：函數f(x)＝a-x-a(a>0且a≠1)有兩個零點 方程a-x-a=0有兩個根 方程a＝x+a有兩個根 函數g(x)＝a和h(x)＝x+a的圖象有兩個交點，由圖象易得a>1。

(2)已知x+y+=25，求+的取值范圍。

分析：50=25+25=x+y+25，采用配方法即可將代數問題轉化為幾何問題。

(3)一個四面體的三組對棱相等，長度分別是、 和，四個頂點在同一球面上，求此球的表面積。

分析：將此四面體放在一個長方體中，這樣就把四面體的外接球轉化為長方體的外接球問題。簡解如下：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，球半徑為R，球的表面積為S，則有a+b＝5，a+c＝10，b+c＝13，(2R)=a+b+c，S=4πR，易得球的表面積是14π。

通過以上例題的分析和解答可以看出，只要我們能夠根據題目特點，恰當運用以上的策略和方法來處理一些看似“繁雜”的計算問題，長期堅持下去，對簡化運算和提高學生的運算能力，培養學生思維的靈活性和深刻性一定會大有益處。以上見解，還不全面，不當之處，敬請各位同行和學者指正。

（作者單位：江蘇省如皋市搬經中學）

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