帶電粒子在分離電、磁場中的運動探討

當(dāng)帶電粒子連續(xù)通過彼此分離的有界電場、磁場時，時而做勻變速直線運動，時而做類平拋運動，時而做勻速圓周運動，時而正偏，時而反偏。此類題目綜合性強，特別是其運動過程繁多，往往容易造成思維過程復(fù)雜、混亂，一般初次讀題，不可能馬上從整體上把握題目的全過程，只有分過程逐步分析，先弄清每個過程的情況，而后綜合整理方能求解。這就要求考生具有良好的心理素質(zhì)和嚴(yán)密的思維，一般來說，考生做起來容易上手，但稍有不慎又會出錯；能得分，但想得滿分又有難度。因而這類試題的區(qū)分度清晰，對考生具有很強的甄別功能，一直以來備受高考出題專家的青睞。下面僅舉幾例討論，以供參考。

一、勻加速直線運動與勻速圓周運動結(jié)合

【例1】（2011年重慶卷第25題）某儀器用電場和磁場來控制電子在材料表面上方的運動，如圖1所示，材料表面上方矩形區(qū)域PP′N′N充滿豎直向下的勻強電場，寬為d；矩形區(qū)域NN′M′M充滿垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，長為3s，寬為s；NN′為磁場與電場之間的薄隔離層。一個電荷量為e、質(zhì)量為m、初速為零的電子，從P點開始被電場加速經(jīng)隔離層垂直進(jìn)入磁場，電子每次穿越隔離層，運動方向不變，其動能損失是每次穿越前動能的10%，最后電子僅能從磁場邊界M′N′飛出．不計電子所受重力。

(1)求電子第二次與第一次圓周運動半徑之比；

(2)求電場強度的取值范圍；

(3)A是M′N′的中點，若要使電子在A、M′間垂直于AM′飛出，求電子在磁場區(qū)域中運動的時間。

解析: (1)設(shè)圓周運動的半徑分別為R1、R2、…Rn、Rn＋1…，第一次和第二次圓周運動速率分別為v1和v2，動能分別為Ek1和Ek2 ，由于相鄰兩次圓周運動中間有兩次經(jīng)過隔離層，有：Ek2＝(0.9)2Ek1

又由：R1＝■，R2＝■，Ek1＝■mv21，Ek2＝■mv22

得：R2∶R1＝0.9

(2)設(shè)電場強度為E，第一次到達(dá)隔離層前的速率為v′.

由:eEd＝■mv′2 ，0.9×■mv′2＝■mv21 ， R1≤s.

得：E≤■.

又由Rn＝0.9n－1R1 ，2R1(1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n＋…)>3s

得：E>■

綜合可得：■

(3)設(shè)電子在磁場中做圓周運動的周期為T，運動的半圓周個數(shù)為n，運動總時間為t.

由題意，有：

■+Rn＋1=3s，R1≤s，Rn＋1＝0.9nR1，Rn＋1≥■

得：n＝2

又由T＝ ■，解得：t＝■.

點評：本題運動過程較復(fù)雜——粒子在電場中做勻加速直線運動，進(jìn)入磁場后向右偏轉(zhuǎn)經(jīng)歷一個半圓周又回到電場，先減速至零，后又勻加速再次進(jìn)入磁場……如此重復(fù)，但每次重新進(jìn)入磁場時速度減小，圓周半徑減小；解本題的另一個關(guān)鍵是分析臨界問題，要根據(jù)磁場的水平邊界和豎直邊界的長度找出與軌道半徑的關(guān)系。

二、類平拋運動與勻速圓周運動結(jié)合

【例2】（2011年全國卷I第25題） 如圖2所示，與水平面成45°角的平面MN將空間分成I和II兩個區(qū)域。一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子以速度v0從平面MN上的點P0水平右射入I區(qū)。粒子在I區(qū)運動時，只受到大小不變、方向豎直向下的電場作用，電場強度大小為E；在II區(qū)運動時，只受到勻強磁場的作用，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向里。求粒子首次從II區(qū)離開時到出發(fā)點P0的距離。粒子的重力可以忽略。

解析：如圖3設(shè)粒子第一次過MN時速度方向與水平方向成α1角，位移與水平方向成α2角且α2=45°，在電場中受電場力做類平拋運動，

v0t=x，x=y

則有：■at2=y，a=■.

得出：tanα1=■=2 vy=2v0，

v=■v0.

粒子在電場中做類平拋運動的位移:

S1=■=■=■.

在磁場中做圓周運動，由qvB=m■得出：

R=■.

且弦切角為α=α1-α2，tanα=■=■，

sinα=■.

則在磁場中運動的位移為：S2=2Rsinα=■

所以首次從II區(qū)離開時到出發(fā)點p0的距離為：

S=S1+S2=■+■.

點評：本題的運動過程不是很復(fù)雜，粒子先在勻強電場中做類平拋運動，后進(jìn)入勻強磁場做一段圓周運動，此后離開磁場又進(jìn)入電場。解本題的關(guān)鍵是作圖時要準(zhǔn)確畫出類平拋運動的速度夾角和位移夾角，并以此求出圓周運動的弦切角（運用三角函數(shù)的知識），剩下的問題就不難了。

三、勻加速直線運動、類平拋運動和勻速圓周運動結(jié)合

【例3】（2010年廣州市高三期末調(diào)研）如圖4所示，在xoy直角坐標(biāo)系中，第Ⅰ象限內(nèi)分布著方向垂直紙面向里的勻強磁場，第Ⅱ象限內(nèi)分布著方向沿y軸負(fù)方向的勻強電場。初速度為零、帶電量為q、質(zhì)量為m的離子經(jīng)過電壓為U的電場加速后，從x上的A點垂直x軸進(jìn)入磁場區(qū)域，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后過y軸上的P點且垂直y軸進(jìn)入電場區(qū)域，在電場偏轉(zhuǎn)并擊中x軸上的C點。已知OA=OC=d.求電場強度E和磁感強度B的大小。

解析：設(shè)帶電粒子經(jīng)電場加速后速度為v，由動能定理有qU=■mv2，帶電粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動，由牛頓運動定律有，qBv=■，

依題意可知：r =d

聯(lián)立以上各式可解得：B=■；

帶電粒子在第Ⅱ象限的電場中偏轉(zhuǎn)，做類平拋運動，設(shè)經(jīng)時間t從P點到達(dá)C點，由平拋運動知識有d=vt和d=■■t2，聯(lián)立各式可解得：E=■.

點評：本題的運動過程較為簡單——粒子先在電場中做勻加速直線運動，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動，經(jīng)四分之一圓周后又垂直進(jìn)入另一電場做類平拋運動，解題過程亦不復(fù)雜。

四、多種常見運動結(jié)合

【例4】（2011年四川卷第25題） 如圖5所示，正方形絕緣光滑水平臺面WXYZ邊長I＝1.8 m，距地面h＝0.8 m．平行板電容器的極板CD間距d＝0.1 m且垂直放置于臺面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔．電容器外的臺面區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強度B＝1 T、方向豎直向上的勻強磁場．電荷量q＝5×10－13 C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U＝2.5 V，板間微粒經(jīng)電場加速后由D板所開小孔進(jìn)入磁場(微粒始終不與極板接觸)，然后由XY邊界離開臺面．在微粒離開臺面瞬時，靜止于X正下方水平地面上A點的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時恰好與之相遇。假定微粒在真空中運動，極板間電場視為勻強電場，滑塊視為質(zhì)點，滑塊與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，取g＝10 m/s2.

(1)求微粒在極板間所受電場力的大小并說明兩板的極性；

(2)求由XY邊界離開臺面的微粒的質(zhì)量范圍；

(3)若微粒質(zhì)量m0＝1×10－13 kg，求滑塊開始運動時所獲得的速度.

解析： (1)微粒在極板間所受電場力大小為 F＝■，代入數(shù)據(jù)得F＝1.25×10-11Nr.

由微粒在磁場中的運動可判斷微粒帶正電荷，微粒由極板間電場加速，故C板為正極，D板為負(fù)極.

(2)若微粒的質(zhì)量為m，剛進(jìn)入磁場時的速度大小為v，由動能定理知Uq＝■mv2，微粒在磁場中做勻速圓周運動，設(shè)半徑為R，有qvB＝m■，微粒要從XY邊界離開臺面，則圓周運動的邊緣軌跡如圖6所示，半徑的極小值與極大值分別為R1＝■與R2＝I－d

聯(lián)立以上各式代入數(shù)據(jù)，得：8．1×10－14 kg

(3)如圖7所示，微粒在臺面以速度v做半徑為R的圓周運動，把m0＝1×10－13kg代入（2）中前兩式易得v＝5 m/s，R=1m；微粒從臺面邊緣P點沿與XY邊界成θ角飛出做平拋運動，落地點為Q，水平位移為s，下落時間為t.設(shè)滑塊質(zhì)量為M，滑塊獲得速度v0后在t內(nèi)沿與平臺前側(cè)面成φ角方向，以加速度a做勻減速直線運動到Q，經(jīng)過位移為k。由幾何關(guān)系，可得cosθ＝■.

根據(jù)平拋運動有t＝ ■和s＝vt.

對于滑塊，由牛頓定律及運動學(xué)方程，有

μMg＝Ma和k＝v0t－■at2.

再由余弦定理k2＝s2＋(d＋Rsinθ)2－2s(d＋Rsinθ)cosθ

及正弦定理■=■.

代入數(shù)據(jù)，解得：v0＝4.15 m/s

?準(zhǔn)＝arcsin0.8(或?準(zhǔn)＝53°)

點評：本題綜合程度高，難度大，涉及的運動有微粒的勻加速直線運動、勻速圓周運動和平拋運動以及滑塊的勻減速直線運動。如能分清運動過程，綜合各種常見運動的規(guī)律及熟練運用空間幾何關(guān)系，整個題目便迎刃而解。

綜合以上四例，可以發(fā)現(xiàn)帶電粒子在分離電、磁場中的運動類問題，盡管過程復(fù)雜，容易對我們的解題思維造成障礙，但是如果能沉著冷靜，逐步分析，認(rèn)清過程，準(zhǔn)確作圖，那么正確求解也就不太難了。

鞏固練習(xí)：

1． 如圖8所示，空間存在勻強電場和勻強磁場，電場方向為y軸正方向，磁場方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場和磁場都可以隨意加上或撤除，重新加上的電場或磁場與撤除前的一樣。一帶正電荷的粒子從P（x＝0，y＝h）點以一定的速度平行于x軸正向入射。這時若只有磁場，粒子將做半徑為R0的圓周運動：若同時存在電場和磁場，粒子恰好做直線運動。現(xiàn)在，只加電場，當(dāng)粒子從P點運動到x＝R0平面（圖中虛線所示）時，立即撤除電場同時加上磁場，粒子繼續(xù)運動，其軌跡與x軸交于M點，不計重力。求：

⑴粒子到達(dá)x＝R0平面時速度方向與x軸的夾角以及粒子到x軸的距離；

⑵M點的橫坐標(biāo)xM。.

2． 如圖9所示，在xoy 坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)有一沿y 軸正方向的勻強電場，在第四象限內(nèi)有一垂直于平面向內(nèi)的勻強磁場，現(xiàn)有一質(zhì)量為m 帶電量為q的負(fù)粒子(重力不計)從電場中坐標(biāo)為(3L，L)的P點與x軸負(fù)方向相同的速度v0射入，從O點與y軸正方向成夾角射出，求:

(1) 粒子在O點的速度大小.

(2) 勻強電場的場強E.

(3) 粒子從P點運動到O點所用的時間.

參考答案

1.（1）速度方向與x軸夾角為：θ=■粒子與x軸的距離為：H=h+■at2=h+■

（2）M點橫坐標(biāo)為：xM=2R0+■

2.（1） v=■v0；（2）E=■；

（3） t=■

（作者單位：湖北省麻城市第二中學(xué)）

責(zé)任編校 李平安