地球表面兩點最短線路的確定及距離計算

高中地理教材中有關“地球運動的地理意義”的內容，一直是地理教學的重點和難點，但教材中不僅圖文資料少，而且對相關結論又缺少足夠的分析，尤其缺少在實際應用方面的內容。面對空間想象力和數學水平不太高的學生，我們該如何幫助他們全面正確認識地球表面兩點最短線路的確定及距離計算？

一、球面上最短線路的確定

在地球表面上，兩點間最短距離是球面上通過這兩點的大圓的劣弧長。為什么大圓就是最短線路呢？

如圖，圖中是過a和b的兩個圓。可以明顯看出，在ab兩點中走大圓的圓弧線路短些。圓越大，弧的曲度就越小，線路就越接近直線（因為球面上不可能有直線）。

具體掌握以下兩種情況，問題就可迎刃而解。

（1）若兩點的經度差等于180度，且不在赤道上，則經過兩點的大圓便是經線圈，這兩點間的最短航程須經過極點，具體又分三種情況：

a. 若兩點同位于北半球，最短航程須經過北極點，其航行方向一定是先向正北，過極點后向正南。

b. 若兩點同位于南半球，最短航程須經過南極點，其航行方向一定是先向正南，過極點后向正北。

c. 若兩點同位于南、北不同半球，這時需要討論經過北極點的為劣弧還是經過南極點的為劣弧，然后再確定最短航程的走向。

如下圖甲中，A點到B點的最短航程經過北極點，C點到D點的最短航程經過南極點，C點到B點的最短航程經過北極點，A點到D點的最短航程經過南極點。

(2) 若兩點的經度差不等于180度，則經過兩點的大圓便不是經線圈，而是與經線圈斜交，其最短航程也不經過極點。若甲、乙兩地在此大圓最北兩側或者最南兩側，具體分為兩種情況：

a. 甲地位于乙地的東方，從甲到乙的最短航程為：同在北半球，先向西北，后向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于南、北不同半球時需要具體討論哪一段為劣弧段。

b. 如上圖乙中A點到B點的最短航程為先向東北，再向東，最后向東南，D點到C點的最短航程為先向西南，再向西，最后向西北。

還需注意的是此類題目有時并不直接給出經緯網地圖，而是通過語言的描述來進行考查，這屬于“無圖考圖”。例如，若A點以西為東半球，以東為西半球，以南為南半球，以北為北半球則可判斷該點的地理坐標為（0°，160°E）。

二、球面上兩點間距離的計算

一般來說，球面上兩點的距離指最短距離，也就是球面上兩點間最短線路的長度。前面已經討論了最短線路是經過大圓的弧。那么如果知道這段弧長所對應的球心角的度數就可以計算距離了。因為地球表面的經線圈、赤道及所有以地心為圓心的大圓長度都為4萬千米，所以：

1. 同一經線上，全球各地緯度相差1°的間隔長度都相等（因為所有經線圈的長度為大圓，都相等），大約是111千米；

2. 赤道上經度相差1°對應的弧長大約也是111千米；

3. 由于各緯線圈從赤道向兩極遞減，60°緯線上的長度為赤道上的一半，所以在各緯線上經度差1°的弧長就不相等，緯度越高，同一緯線上經度相差1°的弧長就越短。緯度為α的緯線上，經度1°對應的弧長為111×cosα千米（需要注意的是：除赤道外，位于同一緯線上兩點距離并不是二者的最短距離，因為緯線并不是過圓心的大圓）。

4. 如果在不同經度和不同緯度上，計算兩點間距離時可進行估算。一是可以先假設兩點的經度相同或緯度相同，然后再根據實際情況擴大或縮小；二是可以先算出比例尺，進而算出兩點間距離。

三、相關應用

某飛機由甲飛往乙，選擇最短航程路線、合適的航向，其最短距離應（小于、等于、大于）2222.2千米。丙、丁之間的距離應（小于、等于、大于）丙、乙之間的距離。

只要明白上面的原理就能作出正確的解答。

在地球表面上，兩點間最短距離是球面上通過這兩點的大圓的劣弧長，由圖可知在南半球，故先向西南，再向西，最后向西北飛行。

最短距離=111×cosα×40千米=111×cos60°×40千米=2222.2千米。

丙乙間距離與丙丁間的所跨經緯度相同，但丙、乙間緯度較低，故距離較長。

本欄責任編輯 羅峰

實習編輯 蔡鴻生