合理設(shè)置情境,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程

摘要：進(jìn)入21世紀(jì)以來，由于計(jì)算機(jī)科學(xué)、心理學(xué)及數(shù)學(xué)自身的迅猛發(fā)展，引發(fā)了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)課程改革。那么，怎樣使新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念在日常教學(xué)中得以具體體現(xiàn)呢？這里給我們廣大的教師提供了很大的作為的空間。

關(guān)鍵詞：情境；學(xué)生；數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號(hào)：１６７３－２９１Ｘ（２０11）20－０242－02

我國(guó)從2000年開始組織人員在進(jìn)行各項(xiàng)調(diào)查、研究及廣泛征求社會(huì)各界意見的基礎(chǔ)上編寫出全國(guó)或地方范圍內(nèi)適用的課程標(biāo)準(zhǔn)。這些新的課程標(biāo)準(zhǔn)的共同點(diǎn)在于：新的課程體系不僅要讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更要求教師努力創(chuàng)設(shè)一些情景、設(shè)計(jì)一些活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，提供學(xué)生親身體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。例如：

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿） 》[1]中指出：“數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生的自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。”

《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》[2]：“數(shù)學(xué)課程不僅應(yīng)重視教學(xué)的內(nèi)容和要求，更應(yīng)充分關(guān)注課程中的學(xué)習(xí)過程，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生、教師發(fā)揮主體性和創(chuàng)造性的條件。要遵循認(rèn)知心理發(fā)展的規(guī)律，合理組織教學(xué)內(nèi)容；要用知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的過程，加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)，提供學(xué)生親身感受、體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。”

下面以最近教學(xué)的《數(shù)學(xué)期望》這一內(nèi)容為例來說明。與其他絕大多數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)的概念一樣，數(shù)學(xué)期望也是在現(xiàn)實(shí)生活的基礎(chǔ)上抽象出來的數(shù)學(xué)概念，但是較之于平均數(shù)、方差、（古典）概率等概念，它的抽象過程要復(fù)雜得多，因此也難懂得多。如果沒有充分認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，那么，對(duì)于數(shù)學(xué)期望這一概念的教學(xué)，教師一般會(huì)依照教材先介紹數(shù)學(xué)期望的定義及其計(jì)算公式，然后通過一些例子練習(xí)數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，名為應(yīng)用，實(shí)際上就是套套公式，學(xué)生很快就學(xué)會(huì)了，教師和學(xué)生都已覺索然無味，一節(jié)課的時(shí)間卻還沒用掉。如此，應(yīng)付考試足矣。可是，對(duì)于數(shù)學(xué)期望究竟是怎么回事，學(xué)生最終還是一片茫然。根據(jù)新的課程標(biāo)準(zhǔn)，這種不管知識(shí)的來龍去脈，只把學(xué)生當(dāng)成機(jī)器強(qiáng)行填塞的做法實(shí)在欠妥。

經(jīng)過再三斟酌，我們這樣來上“數(shù)學(xué)期望”這節(jié)課：

師： 同學(xué)們，大家已經(jīng)知道現(xiàn)實(shí)生活中有許多可能發(fā)生也可能不發(fā)生的隨機(jī)事件，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小可用什么數(shù)學(xué)語言來描述呢？

生：概率。

師：對(duì)！而且在理論上，常在古典概型條件下計(jì)算概率；在經(jīng)驗(yàn)上，常用頻率（經(jīng)驗(yàn)概率）作為概率的近似值，即大數(shù)定律。請(qǐng)完整地?cái)⑹鲆幌麓髷?shù)定律。

生：頻率在大數(shù)次重復(fù)試驗(yàn)中穩(wěn)定于某一常數(shù)（概率）。

師：剛才提到古典概型，古典概型的特點(diǎn)是什么？

生：（1）基本事件全集只包含有限個(gè)基本事件；（2）每個(gè)基本事件的出現(xiàn)具有相等的可能性。

師：大家知道，概率統(tǒng)計(jì)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)分支。上周末我去莫干山旅游，途中一個(gè)擺地?cái)偟娜艘鹆宋业呐d趣。他用20枚簽（其中，10枚標(biāo)有5分分值，10枚標(biāo)有10分分值）設(shè)局，讓游客從中抽出10枚，以10枚簽的分值總和為獎(jiǎng)、罰依據(jù)。具體獎(jiǎng)罰金額見表1[3]：

如果是你，你愿意參加這個(gè)游戲嗎？

生甲：我當(dāng)然愿意。分值總共有11種，中大獎(jiǎng)的分值有2種，輸錢的分值不過3種。似乎中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)還是蠻大的！而且就算輸錢的話， 也就輸1元，可是贏的話卻能贏10元或100元。

生眾：沒那么簡(jiǎn)單吧，那個(gè)攤主肯定是為了賺錢而不是賠錢……

師：對(duì)！那他是怎樣賺到錢的呢？同學(xué)們能不能幫他算一算？譬如說，游客中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)到底有多大？是不是剛才生甲所說的2/11？

生：應(yīng)該不是。因?yàn)槌霈F(xiàn)上面每個(gè)分值的可能性不一定相同。這與古典概型要求每個(gè)基本事件的出現(xiàn)具有相等的可能性不符。

師：對(duì)！下面請(qǐng)大家用正確的方法計(jì)算上述四個(gè)隨機(jī)事件的概率。為了提高效率，大家分組完成。第1、2、3、4組分別計(jì)算獎(jiǎng)100元、獎(jiǎng)10元、不獎(jiǎng)不罰、罰1元的概率是多少。

給學(xué)生一定的時(shí)間計(jì)算、研究。

第四組學(xué)生代表上來演示：

當(dāng)抽到6個(gè)5分簽，4個(gè)10分簽時(shí)得70分；當(dāng)抽到5個(gè)5分簽，5個(gè)10分簽時(shí)得75分；當(dāng)抽到4個(gè)5分簽，6個(gè)10分簽時(shí)得80分，抽到這些結(jié)果分別有C×C，C×C，×C種。從20枚簽中抽取10枚的取法共有C＝184756種。所以輸1元錢的概率是：

＝≈0.82110

師：很好，你說得太好了。下面請(qǐng)其他組的同學(xué)展示計(jì)算結(jié)果。

……

師：下面我把四個(gè)小組的研究的情況進(jìn)行一番剪拼，我們會(huì)看到一個(gè)有趣的結(jié)果：

當(dāng)抽到10個(gè)5分簽，0個(gè)10分簽時(shí)得50分；

當(dāng)抽到9個(gè)5分簽，1個(gè)10分簽時(shí)得55分；

當(dāng)抽到8個(gè)5分簽，2個(gè)10分簽時(shí)得60分；

當(dāng)抽到7個(gè)5分簽，3個(gè)10分簽時(shí)得65分；

當(dāng)抽到6個(gè)5分簽，4個(gè)10分簽時(shí)得70分；

當(dāng)抽到5個(gè)5分簽，5個(gè)10分簽時(shí)得75分；

當(dāng)抽到4個(gè)5分簽，6個(gè)10分簽時(shí)得80分，

當(dāng)抽到3個(gè)5分簽，7個(gè)10分簽時(shí)得85分；

當(dāng)抽到2個(gè)5分簽，8個(gè)10分簽時(shí)得90分；

當(dāng)抽到1個(gè)5分簽，9個(gè)10分簽時(shí)得95分；

當(dāng)抽到0個(gè)5分簽，10個(gè)10分簽時(shí)得100分。

你們能看出其中的規(guī)律嗎？

生：5分簽的個(gè)數(shù)從0至10依次增大，同時(shí)10分簽的個(gè)數(shù)從10至0依次減小。

師：對(duì)。由此可以看到，如果我們按照抽到的10分簽（或5分簽）的個(gè)數(shù)（0個(gè)至10個(gè)）進(jìn)行分類，就可以有條不紊地列出所有的情況。由此可見分類討論的好處。同時(shí)，把所有的情況一一列出的方法叫做窮舉法，大家不要忘記這也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。

下面我們對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行匯總、分析。我們用X來表示獎(jiǎng)罰金額。“X=n”表示贏得n元這一隨機(jī)事件，在這個(gè)問題中n可取-1，0，10，100四個(gè)值，n取不同值時(shí)“X=n”的概率是不同的。把同學(xué)們的計(jì)算結(jié)果用表2匯總就是：

請(qǐng)同學(xué)們解釋一下表格中的數(shù)據(jù)說明了什么問題？

生：通過表格中的數(shù)據(jù)，我們可以了解到要想得大獎(jiǎng)的希望實(shí)在是太渺茫了，而輸錢的可能性卻很高。

師：是啊，當(dāng)時(shí)我就站在地?cái)偱赃叄粍?dòng)聲色地算了半天，然后對(duì)攤主說了上面這番話。可是攤主卻說：“被罰錢的概率是很大，但是罰額很低啊！贏得大獎(jiǎng)的概率小，但是獎(jiǎng)?lì)~很高啊！兩者互相扯平，剛剛好！”被攤主這么一說，我就糊涂了。我覺得他說得很有道理，但是又覺得他不可能不賺錢。那他到底能賺多少錢呢？同學(xué)們能不能計(jì)算一下？

學(xué)生一片茫然。討論了一陣子，有人說：

我覺得把上表每列的數(shù)據(jù)分別相乘然后加起來就是每人能從游戲中掙到的錢。

師：這個(gè)結(jié)果是多少？

生：還沒算……哦，是-0.81元。

師：“-0.81元”的含義是什么？是說每個(gè)人都要輸給攤主0.81元嗎？可是要輸?shù)脑捒偸禽?元，怎么會(huì)是0.81元呢？

生：哦，大概是平均每人輸給攤主0.81元吧。

師：為什么把上表每列的數(shù)據(jù)分別相乘然后加起來就是平均每人輸給攤主的錢？

生：這個(gè)……只是感覺，我也說不清為什么。

師：你剛才提到平均值，那我們就來計(jì)算一下平均值吧。假設(shè)有m個(gè)人參加游戲，那么就應(yīng)該有82.11%的人贏-1元錢，17.78%的人贏0元錢，0.10825%的人贏10元錢，0.0010825%的人贏100元錢，那么平均每個(gè)人贏的錢應(yīng)該如何計(jì)算？

生：

X＝

＝-0.81（元）

師：他的感覺是對(duì)的！原來這樣計(jì)算出來的真的是平均值！剛才的算式的值顯然與m的值無關(guān)，那么，是不是說無論幾個(gè)人去參加游戲，總是平均每人輸給攤主0.81元？實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，我這里準(zhǔn)備好了游戲中所需的材料，下面請(qǐng)10個(gè)同學(xué)上來抽一下簽，然后我們來計(jì)算一下平均值。

學(xué)生抽簽、計(jì)算。

師：實(shí)際的結(jié)果是0.1元，與-0.81元嚴(yán)重不符。這是怎么回事？

生：我認(rèn)為是算式與人數(shù)有關(guān)。因?yàn)樵谒闶街杏玫搅烁怕实闹担鶕?jù)大數(shù)定律，只有在大數(shù)次的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，頻率才會(huì)穩(wěn)定于概率。所以在實(shí)際的游戲中，參加的人數(shù)越多，平均每人輸給攤主的錢就應(yīng)該越接近0.81元。

師：你說得太好了！由于概率是一個(gè)理論值，所以-0.81也是理論值，是我們根據(jù)大數(shù)定律期望能得到的理論上的平均值，數(shù)學(xué)上稱之為數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)家正是根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活中許許多多類似于剛才這樣的例子，抽象概括出了數(shù)學(xué)期望的這一數(shù)學(xué)概念。請(qǐng)大家根據(jù)剛才的例子，嘗試自己給數(shù)學(xué)期望下一個(gè)定義。

得出數(shù)學(xué)期望的定義之后，利用課本上的例題和練習(xí)熟悉一下數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，特別要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)運(yùn)算結(jié)果的實(shí)際意義的正確理解。

作業(yè)：利用今天所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)為某商家的某產(chǎn)品設(shè)計(jì)有獎(jiǎng)促銷方案，并討論它的可行性。

通過課堂現(xiàn)場(chǎng)感知和事后課堂錄像的分析，可以肯定我們對(duì)“數(shù)學(xué)期望”的教學(xué)設(shè)計(jì)是成功的，是受到學(xué)生普遍歡迎的。我們認(rèn)為，這樣的教學(xué)最大的成功之處在于合理設(shè)置了情景（攤主設(shè)局，到底如何賺錢），隨著情景的不斷展開，一個(gè)個(gè)問題（你愿意參加這個(gè)游戲嗎；游客賺錢的機(jī)會(huì)到底是多大；獎(jiǎng)罰是扯平的嗎；攤主到底能賺多少錢；為何現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)結(jié)果與事先計(jì)算結(jié)果不符；等等）自然產(chǎn)生，有效地激發(fā)了學(xué)生的好奇心和探索欲望，在問題解決的不斷驅(qū)動(dòng)下，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的形成過程，并進(jìn)行應(yīng)用（解數(shù)學(xué)期望應(yīng)用題及利用數(shù)學(xué)期望設(shè)計(jì)有獎(jiǎng)促銷方案），從而獲得了對(duì)數(shù)學(xué)期望這一數(shù)學(xué)概念的深刻理解，并有利于學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀的形成（例如，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界是緊密聯(lián)系的，數(shù)學(xué)概念是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來并有著廣泛應(yīng)用的；探索數(shù)學(xué)是有趣的；等等）。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[EB/OL]. http：//www.pep.com.cn/200406/ca473620.htm.

[2] 上海市教育委員會(huì).上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿》[M].上海：上海教育出版社，2004.

[3] 上海市工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)、上海市數(shù)學(xué)會(huì). 競(jìng)爭(zhēng)與風(fēng)險(xiǎn)決策的數(shù)學(xué)模型.內(nèi)部資料.