理想氣體自由擴散的計算機模擬

摘 要：通過分析蒙特卡羅模擬孤立系統(tǒng)中理想氣體的自由擴散運動，并跟蹤氣體分子的隨機運動，直觀形象地把熵和系統(tǒng)無序程度的聯(lián)系展現(xiàn)了出來，更清晰地認識了波爾茲曼對熵的統(tǒng)計解釋。

關鍵詞：理想氣體； 擴散； 熵； 蒙特卡羅

中圖分類號：O411.2 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315(2011)11-176-002

在多數(shù)的大學物理教程中都運用孤立系統(tǒng)理想氣體的自由擴散運動來說明一些孤立系統(tǒng)變化的不可逆性，進而引出熵的概念[1]。本文通過蒙特卡羅方法在計算機上模擬理想氣體的自由擴散運動[2]，并跟蹤氣體分子的隨機運動，直觀形象地把熵和系統(tǒng)無序程度的聯(lián)系展現(xiàn)了出來，更清晰地認識兩者之間的關系。

一、理想氣體的擴散

氣體分子作雜亂無章的運動的原因是氣體分子間在作十分頻繁的碰撞，碰撞使分子不斷改變運動方向與速率的大小，而且這種改變完全是隨機的。按照理想氣體基本假定，分子可視為質點，分子間和分子與氣壁的碰撞是完全彈性的，另外分子間的相互作用力可忽略，因而，理想氣體的分子可以看做是自由的、無規(guī)則地運動著的彈性質點的集合。

圖1是氣體分子間的碰撞示意圖。小球表示氣體分子，其中白球是要研究的分子，黑球是相對白球靜止的分子，研究的分子先后與兩個氣體分子相碰。白球先以V1的速度與相對靜止的黑球碰撞，碰撞后白球的速度大小變?yōu)閂2，V1和V2的方向夾角是?茲1，然后白球以V2速度做勻速運動，運動了L距離又與另一黑球發(fā)生碰撞，同樣速度的大小和方向都發(fā)生改變，碰撞后以V3的速度勻速運動，V3與V2的夾角是?茲2。氣體分子間就這樣不斷地發(fā)生著隨機的碰撞，氣體分子間通過頻繁的相互碰撞，來實現(xiàn)分子間動量、動能的交換。

可見，氣體分子的碰撞頻率和平均自由程、分子數(shù)密度和平均速率有關。所以從宏觀統(tǒng)計角度來看，在我們的模擬過程中讓分子的每一個自由程（步長）為相同的常數(shù)，并不影響宏觀統(tǒng)計效果。

2.過程

2.1分子運動區(qū)域：盒子的整個區(qū)域范圍為橫坐標X(-100-100)，縱坐標Y(0-100)，開始在橫坐標X為0-100，縱坐標Y為0-100的區(qū)域（即盒子的右半部）均勻分布1000個氣體分子（二維平面上運動），如圖2，小黑點代表氣體分子。

2.2隨機的運動：通過隨機數(shù)產(chǎn)生函數(shù)給出每個氣體分子發(fā)生碰撞后隨機的運動方向，這樣模擬的氣體分子就運動了起來。

2.3同一步長：取分子碰撞后每一個自由程的長為一定值1，即當分子運動了長度1的距離都與其他的分子發(fā)生碰撞并改變運動方向。

2.4邊界條件：分子間和分子與氣壁的碰撞是完全彈性的，這是用來限定一些分子運動到區(qū)域邊界時需要服從的情況。

2.5對于每個分子都如此重復著無規(guī)則的擴散運動。

三、結果和討論

1.單個粒子的隨機運動

我們抽去擋板時計時開始，跟蹤了一個確定的氣體分子的一段運動路線，記錄了其50步的運動情況，可以知道對于單個分子的運動，它的運動是沒有任何規(guī)律可言，只是在永不停息的做著無規(guī)則的隨機熱運動。

2.氣體熵和無序性的關系

經(jīng)過對氣體分子擴散運動初態(tài)和達到穩(wěn)定態(tài)后的對比。可以看到當擋板抽去以后，氣體分子向盒子左半部擴散，最終達到一個在整個盒內均勻分布的平衡態(tài)。微觀上，均勻分布是一種無序狀態(tài)，非均勻分布是一種有序狀態(tài)，氣體分子的擴散，就是分子從在盒子右半部的有序狀態(tài)的分布向均勻分布到整個盒子的無序狀態(tài)的變化。

由統(tǒng)計熱力學我們知道系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)的熵與該宏觀態(tài)的熱力學概率W的對數(shù)成正比，即波爾茲曼關系

S=KlnW （4）

其中K為波爾茲曼常量。我們來計算一下整個擴散過程中氣體的熵隨時間變化的情況，計算結果如圖3，單位是bit[3]。

由圖3可以看到，隨著氣體從盒子右半部不斷地充滿整個盒子的過程中，氣體的熵值不斷增大，最后趨于一個穩(wěn)定的值。在氣體擴散趨于穩(wěn)定后，我們跟蹤了盒子中任意兩個確定的氣體分子，分別記錄了50步，可看到它們在整個盒內仍是到處無規(guī)則地亂竄，但就所有氣體分子整體而言，盒子單位區(qū)域內的分子密度卻不會再變化了，即分子是動態(tài)分布均勻的。

隨著時間的變化，氣體分子從有序的初態(tài)到無序的末態(tài)，而熵值此時不斷增大，最終趨于穩(wěn)定的最大值。可見，熵可以被看作是孤立系統(tǒng)無序度的一種量度，并且孤立系統(tǒng)的自發(fā)過程，總是向著熵增大的方向進行。

3.結論

本文通過蒙特卡羅方法在計算機上模擬孤立系統(tǒng)中理想氣體的自由擴散運動，并跟蹤了氣體粒子的運動，把熵和系統(tǒng)無序程度的聯(lián)系展現(xiàn)了出來。更清楚地認識到不可逆過程就是由混亂程度小的宏觀態(tài)向混亂程度大的宏觀態(tài)方向進行，即一個孤立系統(tǒng)內的自發(fā)過程，總是由熱力學概率小的宏觀態(tài)向熱力學概率大的宏觀態(tài)的方向進行。

參考文獻：

[1]楊曉榮，陳素麗.對理想氣體方程pV=Nk_BT的討論.大學物理2008年08期.

[2]馬琰銘，固氫摻鋰體系壓致效應的量子路徑積分蒙特卡羅研究，吉林大學博士畢業(yè)論文.

[3]薛萬華，理想氣體等溫混合Gibbs熵佯謬簡論，寧德師專學報(自然科學版) 1994年02期