淺析初中數學教材中的數學思想方法

數學思想，是人們對數學科學研究的本質及規律的深刻認識.數學思想按其演變的線索可分成：常量數學→變量數學→隨機數學→模糊數學四種數學思想，每種數學思想之間不僅發生了質的變化，而且標志著數學研究對象和方法的重大變化.為了實現數學思想而產生了數學方法.數學方法可以認為是認識數學客體過程中的某種有規律性的程序和手段，各種數學方法都體現一定的數學思想，但與作為認識活動的結果的數學思想含義并不相同.然而常見的一種現象是，一種數學內容從某一側面可視為數學思想，而從另一側面卻又可視為數學方法.在初中數學教材中通常把兩者合為一體，體現出的數學思想方法主要有：化歸、類比、分類討論、數學建模、數形結合、概率等.在此，筆者擬對初中數學教材進行粗略分析，歸納其中體現出的數學思想方法，并進一步研究在教學中如何引導學生具體運用和掌握數學思想和方法.

一、初中數學教材中數學思想的主要概括

1.化歸思想的主要體現

化歸思想是把未知的問題轉化為在已知的知識內可解決的問題的一種重要的思想方法.化歸的目的是通過不斷的轉化將不熟悉的、復雜的問題化歸為熟悉的、簡單的問題.

在初中教材中，數的運算通常先處理符號，再轉化為小學中數的計算；整式的運算轉化為單項式與單項式的運算；解方程組、一元二次方程、分析方程和無理方程轉化為解一元一次方程；將對“三角形內角等于180°”的探究轉化為“平角等于180°”；四邊形及多邊形轉化為三角形.

化歸方法的一般模式可如圖1所示：

2.類比思想的主要體現

類比是根據兩個（或兩類）對象之間存在某些相同或相似的屬性，推演出它們存在其他相同或相似屬性的思維方法.在初中數學教學中，運用類比方法，可以引導學生從一類現象的某些已知特征推測出另一類現象相似特征的存在，從而達到從已知到未知、解決問題的目的.

通常，在初中數學教學中可以類比數的運算學習式的運算；角的度量與比較可以類比線段的度量與比較進行學習；對多邊形的邊、內角、外角、內角和等概念可同三角形的相關概念進行類比學習；類比等式性質學習不等式性質；類比一元一次方程的解法學習解一元一次不等式；類比分數的性質學習分式的性質；類比一次函數學習反比例函數和二次函數；類比平移、軸對稱學習旋轉等.

3.分類討論思想的主要體現

所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決.這一思想方法，通常被稱為“分類討論的思想”.在具體的數學教學運用中，可將分類討論思想概括為“化整為零，積零為整”的方法.

概括來說，用分類討論思想可解決去絕對值符號的問題；用分類思想體會四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形和梯形等概念間的相互關系與區別；圓周角定理等的證明中滲透著分類討論思想；研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系時的分類思想；實數與代數式的分類；計算線段的條數、角或三角形的個數等問題的解答也滲透著分類討論思想.

4.數學建模思想的主要體現

數學建模是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化，建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段.運用數學建模思想，可讓學生學會如何將實際問題經過分析、簡化轉化為一個數學問題，然后用適當的數學方法去解決.在初中數學教材中，比如實際問題與方程（組）、實際問題與不等式（組）、實際問題與函數等問題就蘊含了數學的建模思想.

數學模型與實際問題的關系可用圖2所示：

5.數形結合思想的主要體現

數形結合是初中數學教學中一種重要的思想方法.華羅庚先生曾指出，數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛.數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來.在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，可以使許多數學問題簡單化.

比如，在初中數學教學中，利用數軸上的點表示數，借助數軸定義數的絕對值，在數軸上表示不等式（組）的解集等給學生以直觀感性認識，有利于學生理解相關知識，體現數形結合研究方法的優越性；通過對平面直角坐標系的學習，讓學生初步感受到數形結合的思想，讓學生看到平面直角坐標系的引入，架起了數與形之間的橋梁，加強了知識間的相互聯系；一次函數、反比例函數及二次函數的學習，進一步讓學生感受到數與形的完美結合，體會到數形結合是解決數學問題的又一個強有力的工具.此外，諸如對多邊形內角和與數的關系，多邊形對角線的條數，直線分平面的個數等問題的探究體現了數形之間的聯系，感受由特殊到一般的數學推理過程和數學思考方法.

二、如何引導學生具體運用和掌握數學思想

在數學的教與學中，教師不能僅僅著眼于具體題目的解題過程，而應不斷地加深對數學思想方法的領會，從整體上認識問題的本質.數學思想的方法是通過數學知識的載體來體現的，而對于它們的認識需要一個較長的過程，既需要教材的滲透，更需要教師的重視與引導，最后還需要學生自身的感悟和理解.例如如果認識了化歸思想，那么對于解二元一次方程組的基本思想“消元”——化二元為一元，具體措施——代入法、加減法等就不會僅是死記硬背，而能夠順勢地理解，并能靈活應用.由此可見，數學思想方法是具體的數學知識的靈魂，數學思想方法對一個人的影響往往要大于具體的數學知識，因此教學中應在如何深入淺出進行數學思想方法的滲透、傳播方面進行不斷探究.

在課堂教學中，如何有效地培養學生的數學思想呢？首先，教師可以把知識形態的數學思想方法傳授給學生，讓他們構建起數學思想方法的大體框架，然后讓學生通過自己的思維活動逐步理解它、檢驗它、豐富它，并內化為認識形態的數學思想方法，從而構建為系統的、活化的數學思想方法體系.

下面教學片段是筆者在教學中的具體實例，且用來簡要說明如何培養學生的數學思想.

【片段】梯形中位線的定義和性質

師問：什么叫三角形的中位線？請畫圖說明.

生答：連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線.如圖3，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點.線段DE是△ABC的中位線.

師問：三角形的中位線與第三邊有怎樣的關系？

生答：三角形的中位線平行第三邊（位置關系），且等于第三邊的一半（數量關系）.

在圖3中，DE∥BC，且DE＝12BC.

師問：如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點.

（1） 請給線段EF一個名稱；

（2） 猜想線段EF與AD、BC間存在怎樣的關系？

生答：線段EF叫做梯形ABCD的中位線.

通過類比三角形中位線的定義，學生不難得到梯形中位線的定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.

類比三角形中位線的性質或通過測量EF、AD、BC的長度，猜想EF與AD、BC之間的關系：EF∥AD，EF∥BC，且EF＝12（AD+BC）.

師問：如何驗證或推理證明上面猜想的結論呢？

師問：連接AC行嗎？有不同的意見嗎？

逐步引導學生尋找合理的轉化方法，因為這是有關“中點”問題，結合學生原有認知結構中“三角形中位線的性質”，學生能意識到將線段EF看成是某一個三角形的中位線，即把梯形問題化歸為三角形問題.從而得到三種方法，如圖5所示：

方法1：連接AF并延長AF交BC的延長線于G點.

方法2：連接AF并延長AF到G點，使AF＝FG，連接CG.

方法3：延長BC到G點，使CG＝AD，連接AF、GF.

方法1是最簡單有效的方法，方法2、3也是合理有效的方法，雖然在證明過程有些麻煩，但教師也要給予充分肯定.

從上面的教學過程中，類比化歸思想起了很大的作用.但又是什么啟發我們用這些思想找到梯形中位線與三角形中位線之間的聯系？因為事物之間存在特殊與一般、量變與質變的關系，因而在探究梯形中位線的時候，自然而然聯想到類比或轉化為三角形中位線來研究.

上述教學設計不僅能抓住時機幫助學生構建數學思想方法，而且讓學生在重新發現數學方法過程中，較好地體會了數學思想方法在學習過程中的重要性，這樣能促使學生在今后的學習中有意識地運用數學思想方法來解決問題.

(責任編輯 金 鈴）