函數最值問題求法研究

中學數學的最值知識是進一步學習高等數學中最值題的基礎．因此，最值問題歷來是各類考試的熱點．

求函數最值常有下面的幾種方法：

1．配方法

主要適用于二次函數或可化為二次函數的函數，解題過程中，要特別注意自變量的取值范圍．

2．不等式法

通過式子的變形，將函數解析式化為具有“基本不等式”或“均值不等式”的結構特征，從而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值時，一定要關注等號成立的條件，而利用均值不等式求最值，則必須關注三個條件，即“一正、二定、三相等”．

3．換元法

主要有三角換元和代數換元．用換元法時，要特別關注中間變量的取值范圍．

4．數形結合法

涉及的解析式、方程的幾何意義明顯時，可通過函數的圖象或方程的曲線求最值．

5．函數單調性法

先判定函數在給定區間上的單調性，而后依據單調性求函數的最值．

6．判別式法

主要適用于可化為關于x的二次方程的函數，當x的范圍是R時，僅考慮Δ即可；當x的范圍非R時，還需結合圖象另列不等式組求解．

7．導數法

設函數f(x)在［a，b］上連續，在(a，b)上可導，則f(x)在［a，b］上的最大值和最小值應為f(x)在(a，b)內的各極值與f(a)、f(b)中的最大值與最小值．

8．向量法

利用向量的代數表示、坐標表示結合向量運算、數量積的有關性質可求出某些函數的最值．

9．線性規劃問題

求線性目標函數在線性約束條件下的最大值和最小值問題，稱為線性規劃問題．

10．三角函數最值問題

總之，求最值問題常用方法可歸納為：代數法、單調性法、三角法、導數法四種．

一、代數法

【例1】 若x≥0，y≥0且x+2y=1，則2x+3y2的最小值為．

解：由已知有x=1-2y≥0 ，得0≤y≤12.

令u=2x+3y2=2(1-2y)+3y2=3(y-23)2+23，



當y=12時，umin=34．故2x+3y2的最小值為34．

二、單調性法

【例2】 求函數y=x-1-2x的最大值．

解：∵1-2x≥0，∴x≤12，∴定義域為(-∞，12］．

∵函數y=x，y=-1-2x在(-∞，12］上均單調遞增，∴y≤12-1-2×12=12，故ymax=12.

三、三角法

【例3】 已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求(1x2-1)#8226;(1y2-1)的最小值.

解：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，令x=cos2θ，y=sin2θ，θ∈(0，π2)，則(1x2-1)(1y2-1)=(sec4θ-1)(csｃ4θ-1)=(sec2θ-1)(sec2θ+1)(csc2θ-1)(csc2θ+1)

=tan2θ(2+tan2θ)cot2θ(2+cot2θ)＝

5+2(tan2θ+cot2θ)≥5+2#8226;2tan2θcot2θ=9.

（當且僅當tan2θ=cot2θ，即θ=π4時取等號，此時x=y=12）.

四、導數法

【例4】 求函數y=2x+4-x+3的最小值．

解：易知定義域為x≥2，

y′=12x+4-12x+3=2x+3-2ｘ+42x+4#8226;x+3，



∴(2x+3)2-(2x+4)2=2x+8≥2#8226;(-2)+8=4＞0，

∴2x+3＞2x+4，∴y＞0.



∴函數y在［-2，+∞）上是增函數．

∴當x=-2時，ymin=-1.

這些方法不是彼此孤立的，有時一個問題可以用多種方法求解，熟練掌握這些方法，就能達到舉一反三的效果，對提高思維的靈活性和創造性也是大有裨益的．

(責任編輯 金 鈴）