等積變換在高考試題中的應用
2011-12-31 00:00:00鄒云珍
中學教學參考·理科版 2011年11期
幾乎每一年的高考數學試卷中都有一道以解答題形式給出的立體幾何試題，特點是：覆蓋面廣，重視思想，考查能力.這道題又多是以幾何體的形式出現，在幾何體的襯托下證明線面位置關系（垂直或平行），求角或距離，或求體積.在求體積或求距離時，用常規方法往往也能解決，但計算量較大，如用等積變換法則往往能簡化計算過程.下面以高考試題為例，談談等積變換法的應用.
一、求體積
運用轉化頂點或底面作等積變換是求錐體體積的一個重要方法.等積轉化，使難求體積的三棱錐逐漸過渡到易求體積的三棱錐.
【例】 （1996，文，23）如圖1，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=13AA1=a， E、F分別是BB1、CC1上的點，且BE=a， CF=2a.
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積.
解：（Ⅰ）略.
（Ⅱ）∵VA1-AEF=VE-AA1F，
在面A1B1C1內作B1G⊥A1C1，垂足為G，
B1G=32a，面A1B1C1⊥面A1C，
∴ B1G⊥面A1C.
又∵ E∈BB1，而BB1∥面A1C，
∴三棱錐E-AA1F的高為32a，
而 S△A1AF=12#8226;AA1#8226;AC =32a2，
∴VA1-AEF=VE-AA1F=34a3.
求三棱錐的體積，關鍵在于求底面積和高，首先應想到是否有一條棱與一個面垂直，并由條件進行判斷.經研究發現，這樣的棱不存在，并且這個三棱錐的體積難以直接求得，必須經過換底轉化，使難求體積的三棱錐過渡到易求體積的三棱錐.
由以上例子可以看出，在求三棱錐的體積時，如果方法不對，不僅會加大計算量，還可能會勞而無功.而通過正確的轉化，使用等積變換法，思路清晰，且可以大大減小運算量.
二、求距離
等積變換法對于求點面距離、線面距離、線線距離都很有很大的作用.轉化的思維過程一般可以表示為：
線線距離轉化線面距離轉化點面距離視為某棱錐的高等積變換法計算.
【例】 （1998，理，23）已知：斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.求：（Ⅰ）側棱A1A與底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）側面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）頂點C到側面A1ABB1 的距離.
解：（Ⅰ）、（Ⅱ）略.
（Ⅲ）法一：作A1D⊥AC，垂足為D，連結ED.由點C作平面A1ABB1的垂線，
垂足為H，則CH的長是點C到平面A1ABB1的
距離.連結HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
∴ ∠HBC=∠A1ED=60° .
∴ CH=BCsin60°=3為所求.
法二：連結A1B.根據定義，點C到面A1ABB1的距離即為三棱錐C-A1AB的高h.
由VC-A1AB=VA1-ABC，得13#8226;S△AA1B#8226;h=13#8226;S△ABC#8226;A1D，即13×22h=13×22×3，
∴h=3為所求.
由兩種解法可以看出，利用等積變換法求點到面的距離，不僅可以簡化計算，還避免了作圖處理，此法特別適用于點到面的垂線難以作出或難以計算時，但缺陷在于一定要構造三棱錐來解決.
(責任編輯 金 鈴）
