軸對稱中極值問題的分析與解法

軸對稱是現實生活中廣泛存在的一種現象，而極值問題一直以來是中考考查的熱點問題，我們比較熟悉和常見的極值問題大多出現在一次函數或者二次函數的內容里，實際上，在初中的數學教學內容中，還有一類極值問題是和軸對稱知識相結合的.由于這類問題在教材中出現并不多，所以教師和學生比較容易忽略.近年來，這類問題逐漸出現在各地市的中考題中，有的是作為填空選擇題中的中難度題型來考查，有的甚至是放在壓軸題中考查.這類題型體現了數形結合的思想和轉化的思想，較好地考查學生的觀察、探究、分析問題、解決問題的能力，使學生進一步體會軸對稱的應用價值和豐富的內涵.

人教版八年級上冊第十二章《軸對稱》中有這樣一道探究題，就是利用軸對稱解決極值問題的經典問題：

探究：如圖1，要在燃氣管道ｌ上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣.泵站修在什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

分析：我們可以把管道近似地看成一條直線l，問題就是要在l上

找一點C，使AC與CB的和最小.設B′是l的對稱點，問題轉

化為要使AC與C B′的和最小.因為在連接A B′的線中，線段A B′最短.因此，線段A B′與直線 l的交點C的位置即為所求.

為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線 l上取任意一點C′，連接AC′，B′C′，BC′.因為直線l 是點B、B′的對稱軸，點C，C′在 l上，所以CB=CB′，C′B=C′B′.

∴AC+CB=AC+CB′=AB′.

在△AC′B′中，

∵AB′

∴AC+CB

即AC+CB最小.

這類問題的特征是:在一條直線的同側有兩個定點，要求在直線上找到一個點，使它到兩個定點的距離之和最短.在解決這類問題時，軸對稱起到一個重要的橋梁的作用.解決這類問題的方法是:作出其中一個點關于這條直線的對稱點，通過軸對稱，同側一點映射到直線的另一側，而不改變路徑的總長度，從而利用“兩點之間，線段最短”使問題得到解決.又如：

【例1】 △ABO內有一點P，在OA和OB邊上分別找出點M、N，

使△PMN的周長最小.

解:只要找出點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連結P1P2，

交OA、OB于M、N，此時，△PMN的周長為PM+PN+MN= P1M+P2N+MN=P1P2為最小.

【例2】 如圖3-1，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，且BE=3，EC=1，

P是BD上的一動點，則PE＋PC的最小值是多少？

分析：正方形是軸對稱圖形，對角線BD所在的直線是其中一條對稱軸，

點C關于直線BD的對稱點就是A點，因此，連接AE交BD于P，

PE+PC=PE+PA=AE為最小.又AE=32+42=5，故此最小值是5.

【例3】 如圖4，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點，

點M、N分別是AD，DC邊上的中點，則MP+NP的最小值是() .

A.2 B.1C.3D. 4

分析：根據菱形的軸對稱性先作出點N關于對角線AC的對稱點N′，

即BC的中點，則PN=PN′，連接MN′與AC交于一點，即當點P運動到

該點時，MP+NP取最小值MN′，此時，MN′=AB=1.故選B.

【例4】 如圖5，在等腰梯形ABCD中，AD ∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，

直線MN為等腰梯形ABCD的對稱軸，P為MN上一動點，

那么PC+PD的最小值是 .

分析：等腰梯形是軸稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸.

點D的對稱點就是A點，因此，連接AC交MN于點P，

則PC+PD=PA+PC=AC為最小.又AB=CD=AD=2，∠B=60°，所以∠DAC=∠ACD=∠ACB=30°，∠BAC=90°，AB=2，故BC=4，AC=42-22=23

【例5】 AB為⊙O的直徑，AB=2，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，點D在圓O上，

AD=2CD，點P是半徑OC上一個動點，那么PA+PD的最小值是 .

分析：只要找出其中一個點關于半徑OC的對稱點，而圓是軸對稱圖形，點A和點B

關于半徑OC所在的直線對稱，所以連接BD交OC于P，故PA+PD=PB+PD=BD為最小.又因為△ABD是含有30°角的直角三角形，所以這個值是3.

上面的幾例都是巧妙地利用正方形 、菱形 、等腰梯形、圓等這些圖形是軸對稱圖形的性質來進行求解，圖中的某個定點都有現成的對稱點，只須細心地觀察圖形，找到這個定點的對稱點就可以找到解決問題的關鍵.

【例6】 如圖7-1，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，且點A可從他的小屋B向西行8km、 再向北行7km 到達.他想把馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他完成這件事情所走的最短路程是多少？

解：作出點A關于小河南岸MN的對稱點A′，

連結A′B交MN于點P，則A′B就是最短路線.

在Rt△A′CB中，由勾股定理，得：

A′B=82+(7+4+4)2=17(km).

∴他要完成這件事情所要走的最短路線是17km.

本題運用軸對稱構造直角三角形，并用勾股定理計算最小值.

【例7】 如圖8，正比例函數 y=12x的圖像與反比例函數ｙ=

kx（ｋ≠0）在第一象限的圖象交于點A，過點A作 ｘ軸的垂線，垂足為點M，已知 △OAM的面積為1.

（1）求反比例函數的解析式；

(2)如果點B為反比例函數在第一象限上的點（點B與點A不重合），且點B的橫坐標為1，在 ｘ軸上求一點P，使PA+PB最小.

解：（1）設點A的坐標為（ａ，ｂ），則b=ka，

∴ab=k.

∵△OAM 的面積=12ａｂ=1，∴k=2.

∴反比例函數的解析式為y=2x.

（2）由y=2x，y=12x

得x=2，y=1，



∴點A的坐標為（2，1）.

設點A關于 x軸的對稱點為點C，則點C的坐標為（2，-1），連接BC交x軸于點P，

此時PA+PB=PC+PB=BC為最小.

設直線BC的解析式為y=mx+n，

∵點B的坐標為（1，2），

∴2=m+n，-1=2m+n，

∴m=-3，n=5.

∴BC的解析式為y=-3x+5.

當y=0時，x=53，

∴點P的坐標為（53，0）.

以上是軸對稱中的極值問題在函數中的應用.通過對軸對稱中的極值問題的探究，使學生經歷了“問題情境—建立模型-求解、解釋、應用拓展”的數學過程，提煉出這類問題特征和解決這類問題方法和關鍵所在，體會了數形結合、化歸的數學思想方法，使學生的思維能力得到進一步的提高和發展.

(責任編輯 金 鈴）