構造函數巧解題

函數思想是一種通過構造函數實現問題轉化的思想方法，在中學數學中，許多問題如果利用函數思想，可使問題直觀化、簡單化，便于解決復雜的數學問題.

一、構造函數，利用函數的奇偶性解題

【例1】 已知(3x4+7x3+4x2-7x-5)5#8226;(3x4-7x3+4x2+7x-5)5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40

.求a0+a2+a4+…+a40的值.

解析：設f(x)=(3x4+7x3+4x2-7x-5)5#8226;(3x4-7x3+4x2+7x-5)5，易知f(x)=f(-x).

從而f(x)是偶函數，

于是有a1=a3=a5=…=a39=0，

∴f(1)=(3+7+4-7-5)5#8226;(3-7+4+7-5)5=1024，

即a0+a1+a2+…+a40=a0+a2+…+a40＝1024 .

二、構造函數，利用函數的單調性解題

【例2】 設實數a＞1＞b＞0，問a，b滿足什么條件時，不等式lg(ax-b)＞0的解集是(1，+∞).

解析：構造函數f(x)=lg(ax-bx)，

∵ax-bx＞0

，即(ab)x＞1，且ab＞1，

∴x∈(0，+∞).

依題意，只需f(x)在(0，+∞)上是增函數，且f(1)=0 .

∵a＞1＞b＞0，

∴ax和(-b)x在(0，+∞)上都隨x的增大而增大，故f(x)=lg(ax-bx)是(0，+∞)上的增函數.

又f(1)=lg(a-b)，令lg(a-b)=0，得a-b=1，即a，b滿足的關系為a=b+1.

【例3】 是否存在實數a，使不等式

1n+1+1n+2+1n+3+…+12n＞112loga(a-1)+23

對于一切大于1的自然數n都恒成立？如果存在，試確定a的取值范圍，否則說明原因.

解析：引進函數f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n∈Z，且n≠1）.

假設存在題意中要求的實數a，那么112loga(a-1)+23＜|f(n)|min.

∵f(n)-f(n-1)=12n-1n=1n＞0，

∴f(n)為增函數，故|f(n)|min=f(2)=712，

由112loga(a-1)+23＜712

解得1＜a＜1+52.

∴所求的實數a存在，且范圍是(1，1+52).

三、構造函數，利用函數圖象的對稱性解題

【例4】 已知：x1是方程x+lgx=3的一個根，x2是方程x+10x=3的一個根，則x1+x2的值是().



A.6B.3C.2D.1

解析：構造函數f(x)=lgx，g(x)=10x，h(x)=3-x，在同一坐標系內畫出這三個函數的圖象，易知g(x)與

f(x)的圖象關于y=x對稱，x1和x2分別是g(x)和f(x)與

直線y=x交點的橫坐標，由y=x與y=3-x解得交點的

橫坐標為32，所以x1+x22=32，即得x1+x2=3.

四、反客為主，再構函數解題

【例5】 設y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t∈［-2，2］時，y恒取正值，求x的范圍.

解析：設y=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1，則f(t)是關于t的一次函數，當t∈［-2，2］時，f(t)＞0恒成立，故有f(-2)＞0，f(2)＞0，



即log22x-4log2x+1＞0，log22x-1＞0，



解得0＜x＜12或x＞8.

(責任編輯 金 鈴）