中考數學試題中規律探究性問題的研究
2011-12-31 00:00:00刁成海
中學教學參考·理科版 2011年11期
規律探究性問題的特點是問題的結論不直接給出，而是通過對問題的觀察、分析、歸納、概況、演算、判斷等一系列的探究活動，才能得到問題的結論.這類問題，因其獨特的規律性和探究性，在考查學生分析問題、解決問題能力方面，具有很好的甄別功能，因此，備受出題教師青睞，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現，而且“花樣百出”.下面就這類問題中涉及的知識不同，對這類問題進行探討，以求教于大方之家，并為教師教學方式和學生學習方式的轉變提供參考.
一、與代數有關的規律探索問題
【例1】 （2010，江蘇泰州）觀察等式：①9-1=2×4，②25-1=4×6，③49-1=6×8，…，按照這種規律寫出第n個等式： ．
分析:分析所給等式，對于n 取不同的值，對應等式分別可變形如下：
當n=1時，①9-1=2×4=（2×1+1）2-1= 2×1×（2×1+2）；
當n=2時，②25-1=4×6=（2×2+1）2-1=2×2×（2×2+2）；
當n=3時，③49-1=6×8=（2×3+1）2-1=2×3×（2×3+2）；
……
故應填(2n+1)2-1=2n(2n+2).
關鍵詞：規律歸納猜想.
點評:本題通過仔細分析、歸納、猜想，不難發現其中的規律.屬較為簡單的探索題.
推薦指數：★★
【例2】 （2010年，江蘇鹽城）填在下面各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，m的值是（）.
A．38B．52C．66 D．74
分析：根據圖形所填數字可以看出：2×4-0=8；
4×6-2=22；6×8-4=44；8×10-6=74.
關鍵詞：有理數運算找規律.
點評：本題要充分分析試題的特點、各個量之間的關系，然后得到一般的結論.
推薦指數：★★★★
【例3】 （2010，江蘇淮安）觀察下列各式：
1×2＝13（1×2×3-0×1×2）；
2×3=13(2×3×4-1×2×3)；
3×4=13(3×4×5-2×3×4)；
……
計算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（）
A．97×98×99B．98×99×100
C．99×100×101 D．100×101×102
分析：從材料可以得出1×2，2×3，3×4，…可以用式子表示，
即原式=3×［13(1×2×3-0×1×2)+13(2×3×4-1×2×3）+…+13(99×100×101-98×99×100)］=99×100×101.所以選擇C.
關鍵詞：材料閱讀型規律探索題.
點評：對于材料閱讀的問題是中考問題中的常見問題，也屬于難度較大的問題，這種問題的規律性比較強，所以找出材料中的規律是解決此類問題的關鍵．
推薦指數：★★★★
一般來說，與代數有關的規律探索問題，需要考生認真閱讀題意，仔細分析，通過運算、變形、歸納、猜想就會有意想不到的收獲，從而找到規律，解決問題．
二、與幾何圖形有關的規律探究問題
【例4】 （2010，江蘇徐州）用棋子按下列方式擺圖形（如圖1），依照此規律，第n個圖形比第(n-1)個圖形多枚棋子．
分析：觀察所給圖形，可知第2個圖形比第1個圖形多（3×2-2）個棋子，第3個圖形比第2個圖形多（3×3-2）個棋子，所以第n個圖形比第(n-1)個圖形多（3n-2）枚棋子．
填：3n-2.
關鍵詞：圖形的規律.
點評：解決此類問題時，要認真觀察圖形，找出圖形變化的規律，歸納推理求解．
推薦指數：★★★★
【例5】 （2010，福建晉江）如圖2，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；……，根據以上操作，若要得到2011個小正方形，則需要操作的次數是() .
A. 669
B. 670
C. 671
D. 672
分析：第一次操作得到4個小正方形，第二次操作得到7個小正方形，第三次操作得到10個小正方形，…，第n次操作得到（3n+1）個小正方形，計算n=2011時，3n+1的值得670，故選B.
關鍵詞：正方形實驗操作規律探索.
點評：本題主要通過實驗操作探索規律，讀懂題意后，通過分析歸納，不難發現其中的規律.
推薦指數：★★★
【例6】 （2010，江蘇連云港）如圖3，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為34，再分別取A1C、B1C的中點A2、B2，A2C、B2C的中點A3、B3，依次取下去……利用這一圖形，能直觀地計算出34+342+343…+34n＝ ．
分析：觀察圖形分析：第1次截取后所得梯形面積為34=1-14；第2次截取后所得梯形面積為34+342＝1516＝1－142；……所以34+342+343…+34n=1-14n
．
答案：1－14n或1－(14)n或4n-14n．
關鍵詞：三角形中位線相似三角形的性質規律探究問題.
點評：本題是綜合考查三角形中位線、相似三角形的性質．解題中，學生必須結合圖形利用中位線及相似三角形的面積之比等于相似比的平方等知識綜合分析，經歷問題中算式的形成過程，才可正確快捷地解答出問題．若直接從所求算式入手探究規律，則比較困難．
推薦指數：★★★★
幾何圖形的規律探究類問題一直以來都是中考的必考熱點問題．這類問題看似復雜，其實不一定是難題，關鍵是讀懂題意，看懂圖形，敢于下手，細心演算，這層“窗戶紙”就不難捅破.
三、與新定義有關的規律探索問題
【例7】 （2010，浙江東陽）閱讀材料，尋找共同存在的規律：
有一個運算程序a⊕b = n，可以使：（a+c）⊕b= n+c，a⊕（b+c）=n－2c，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 =．
分析：由a⊕b = n，可以使：（a+c）⊕b= n+c，可知：當a 增加c時，結果增加c；由a⊕b = n，可以使：a⊕（b+c）=n－2c，可知：當 b 增加c時，結果減少2c.
所以，如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 =（1+2009）⊕(1+2009)=2+2009-2×2009=-2007.
答案：-2007.
關鍵詞：新定義閱讀理解探究規律.
點評：對新定義規律問題，讀懂題意是解決問題的關鍵.
推薦指數：★★
【例8】 （2009，浙江杭州）某校數學課外小組，在坐標紙上為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點P
k(xk，yk)處
，其中x1=1，y1=1，當k≥2時，
xk=xk-1+1-5(［k-15］-［k-25］)；
yk=yk-1+［k-15］-［k-25］，
［a］表示非負實數a的整數部分，例如［2.6］=2，［0.2］=0.按此方案，第2009棵樹種植點的坐標為（）.
A.（5，2009） B.（6，2010）
C.（3，401）D.（4，402）
分析：［a］表示非負實數a的整數部分，很容易想到通過運算求出當k=1，2，3，4，5，…時，P點的坐標依次為（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），…歸納猜想可知P的坐標為D（4，402）.
選：D .
關鍵詞：新定義演算歸納推理探究規律.
點評：本題不僅要讀懂題意，理解新定義“［a］表示非負實數a的整數部分”，而且需要進行大量的計算，通過計算歸納總結得出規律.本題計算量大，規律性強，實屬中考中的難題.
推薦指數：★★
新定義規律性探索問題的解決關鍵，首先是要讀懂題意，其次要認真分析數據，通過觀察、分析、演算、歸納、推理，從中找到規律.這類問題由于是新“問題”，考察的重點不僅是學生分析問題、解決問題的能力，更重要的是考察學生的閱讀能力、理解能力、自學能力，具有很好的區分功能.因此，往往難度比較大，在中考中出現的頻率也比較高.
四、與坐標系有關的規律探究問題
【例9】 （2010，湖北武漢）如圖4，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行．從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…，頂點依次用A1，A2，A3，A4，…表示，則頂點A55的坐標是（）.
A.（13，13） B.（―13，―13） C.（14，14） D.（－14，－14）
分析：正方形各頂點分別在四個象限對角線上，所以各點縱橫坐標相等或互為相反數.問題是A55在第幾象限.通過觀察可知A1（-1，1），1除以4商0余1；A2（1，-1），2除以4商0余2，A3（1，1），3除以4商0余3；A4（-1，1），4除以4商0余4，…，A55，55除以4商13余3.故A55（14，14），選C.
關鍵詞：坐標系探究規律.
點評：本題在直角坐標系中探尋規律，體現了“數”“形”結合的思想，這類問題主要考查學生綜合運用代數知識和幾何知識的能力.解決這類問題，要求學生不僅要有很好的“數感”，還要有很強的“圖形”意識.
推薦指數：★★★
【例10】 （2009，遼寧本溪）如圖5所示，已知點A(0，0)，B(3，0)，C(0，1)，在△ABC內依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3A3，…，則第n個等邊三角形的邊長等于 ．
分析：因為△OA1B1為等邊三角形， △OA1C為直角三角形，OC=1，且∠A1OC=30°，那么第1個△AA1B1，第2個B1A2B2，第3個△B2A3B3，…，第n個等邊三角形的邊長分別等于
32 ，322，323，…，32n．
答案： 32n.
關鍵詞：等邊三角形、直角三角形坐標系推理探究規律.
點評：本題以直角坐標系為載體，把等邊三角形、直角三角形以及規律探索結合起來，層層遞進，難易適中，是一道不錯的中考題.
推薦指數：★★★★
直角坐標系中的規律探究問題，體現了“數”與“形”的完美結合，展示了數學“美”，解決這類問題要求學生不僅要有很好的“數感”，還要有很強的“圖形”意識.這類題目往往綜合性比較強，學生常感眼花繚亂，無從下手，易產生畏懼心理.碰到此類問題，要求學生樹立必勝的信心，“明知山有虎，偏向虎山行”，發揚勇于拼搏的精神，在讀懂題意的基礎上，知難而進，大膽嘗試，“堅冰”必可破.
(責任編輯 金 鈴）
