談復合函數求導教學難點的突破

摘 要:復合函數的求導法運用如何，是求導方法靈活應用的重要標志。本文從分清函數，確認復合函數求導法則，分步施教等三個方面對復合函數求導法難點如何突破進行了說明，使學生更加明確復合函數求導法.

關鍵詞:復合函數 難點 導數

中圖分類號:G623.3文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)12(b)-0139-01

導數是微積分中重要概念之一，是學習微積分的紐帶。復合函數的導數的計算是求導數的關鍵，它是檢驗導數計算基本訓練能否過關的重要標志。另外，在教學過程中，也深感學生在學習中十分困難，為了突出教學重點，突破教學難點，筆者采用了如下的教學方法，與讀者交流。

1 觀察函數，掌握基礎

用已掌握的計算方法解決新的計算問題，從實際背景中抽象出新的數學概念，認準所解決問題的本質特征，是數學教學常規的教學方法，對復合函數求導法的教學，也同樣可以用這種方法進行教學。

1.1 復合函數求導法則的引入

我們在前面已掌握了以下求導公式和求導的四則運算法則， 試問成立嗎？我們可以用另外的辦法來求的導數

由上可以知道的導數是2，出現這個錯誤的原因是在那里呢？原來是由，復合而成的，是函數對中間變量的導數，用對的導數去代替對的導數，顯然就錯了。

我們還可以知道，，由此我們可以引入復合函數求導法則。

1.2 正確判斷函數，選擇適當求導法則

(1)凡是由基本初等函數之間的四則運算按所組成的函數(稱為簡單函數)，不管其簡單還是繁雜，在求導時只需用導數基本公式和四則運算法則，不需要用復合函數求導法則。

例如，求函數的導數，只用導數的基本公式和四則運算法則即可求出。

(2)對于基本初等函數來說，如果位于自變量的位置不是，而是的函數，那么，就要將此函數稱的復合函數，因而，必須用復合函數的求導法則。

例如，，，是三角函數形式的復合函數;

，是反三角函數的復合函數;

，，是冪函數形式的復合函數;

，，是指數函數形式的復合函數。

求以上形式的函數的導數，都必須要用復合函數的求導法則。

2 牢記方法，抓住關鍵

求導數關鍵問題是求復合函數的導數，復合函數求導的關鍵，除了要正確判斷函數外，還必須對復合函數求導法則有正確的認識和使用.

1.標準公式:若都可導，則

或者.

2.公式說明:復合函數的導數等于復合函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.

3.正確使用符號:表示函數對的導數，表示函數對的導數.

4.公式里的中間變量、僅是為了求導方便而引入的，所以求導以后還要將、還原成的函數.

5.由于在求導過程中多了中間變量、，所以在復合函數求導時，必須分清楚是誰對誰的導數，這一點在以后求導數時尤為重要，必須要牢記在心的.

6.應用復合函數求導法則時，關鍵是引入中間變量、，分清楚函數的復合關系.

一般是采用從外到內逐層剝開的辦法來分析函數的復合過程，直到最后一個簡單函數或基本初等函數，不用復合函數求導法則也可以求導為止.

(1)對所給的函數認真觀察，看把什么函數看成一個整體(即看成中間變量)使所給的函數成為基本初等函數或者簡單函數，以便可以使用求導基本公式及四則運算法則，求出對中間變量、的導數。

(2)如果需要多次設置中間變量，則在第一步設置中間變量時，不必考慮第二步的中間變量應如何設置，只需按(1)中的要求，再觀察第一個中間變量，使其成為第二個中間變量的基本初等函數、簡單函數。一次類推直到最后，并把他們順次聯結起來，就使得所給函數成為容易求導的基本初等函數、簡單函數.

例如:分解復合函數，

引入第一個中間變量:令，，(注意:仍是的復合函數)，

引入第二個中間變量:令，，(注意:仍是的復合函數)，

引入第三個中間變量:令，，(注意:是簡單函數)，

由以上函數，，是基本初等函數，函數是簡單函數，它們都可用基本求導公式或求導四則運算法則求出導數，所以已知函數是由函數，，這三個函數復合而成.

3 分步施教，突破難點

復合函數求導法，應用廣泛，極為重要，既是教學的重點也是難點。在教學過程中，鑒于對求導知識掌握的程度，求復合函數的導數可以分為三步進行:

第一步，設出中間變量，正確應用法則，還原變量并化簡。

例1.求函數的導數。

分析:可將已知函數看成是以函數“”為整體函數的冪函數的函數，即以“”為中間變量的冪函數的復合函數。故可令，.

解:看成是由，復合而成的，，，

.

第二步:比較熟練以后，就可以不必寫出中間變量了，這樣不僅可使求導過程簡單些，而更重要的是盡快擺脫引入中間變量，有利于提高想象力，促進思維的發展、智力的開發、素質的提高.

例2:求函數的導數.

分析:在利用復合函數求導法時，默想著用代替，則，先對中間變量求導，再乘以中間變量對求導數.

解:，

注意:此時可以簡單的寫成，因為本來就是的函數，由于沒有明確引入中間變量，將寫成不會引起混淆.

第三步:到了已經熟練掌握復合函數的求導技巧以后，就可以

直接求出導數，并化簡.

例3:求函數的導數.

解法一:不引入變量，一般可寫成:

解法二:熟練掌握后可寫成:.

以上是筆者對復合函數求導法教學難點突破的拙見，望讀者多提寶貴意見！