淺談定積分應(yīng)用之微元法

摘 要:本文簡單闡述了定積分應(yīng)用中的微元法，基于微元法的理論依據(jù)，指出了為什么在計算旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積時選用的是圓臺微元，而不是像計算旋轉(zhuǎn)體的體積時那樣選取圓柱微元，即而不是。對初學(xué)者進(jìn)一步理解并正確應(yīng)用微元法有一定的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞:定積分應(yīng)用 微元法

中圖分類號:O17文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2011)12(b)-0143-01

我們知道在幾何、物理或者其他科學(xué)技術(shù)中有很多量都需要用定積分來表達(dá)，而建立這些量的積分表達(dá)式的常用方法就是微元法。換句話說微元法思想在定積分的應(yīng)用中占有很重要的地位。具體怎樣求微元，即如何正確的選取微元這是問題的關(guān)鍵，對初學(xué)者來說也是一個難點。這就需要我們細(xì)細(xì)分析一下微元法的實質(zhì)，明白微元法的理論依據(jù)是什么。

一般來說，用定積分表達(dá)的量應(yīng)具備如下特征[1]:(1)所求量都具有對于區(qū)間的可加性，即分布在區(qū)間上的總量等于分布在各子區(qū)間上的局部量之和，即;(2)所求量是分布在區(qū)間上的非均勻連續(xù)分布的量。具備了上述特點，因而我們可以利用“分割-近似-求和-取極限”的方法來計算整體量。把上述四步歸納簡化后就是通常說的微元法，有時也稱無窮小元素的求和法:

1 在區(qū)間上任取一個小區(qū)間，并取在該區(qū)間上局部量的近似值

(1)

2 在區(qū)間上積分得

(2)

其中 稱為積分微元，簡稱微元。

初學(xué)者對于微元法求平面圖形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積時，一般都能夠準(zhǔn)確的找到面積微元及體積微元，對于書上給出的計算公式也能理解并接受。如以及曲線為

邊界的曲邊圖形的面積微元為底為，高為的小矩形的面積，即。以曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積微元為底面半徑為，高為的小圓柱體的體積，即。但是在選取由曲線段及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積的面積微元時，常存在疑問。不明白為什么計算側(cè)面積時選用的是圓臺微元，而不是像計算旋轉(zhuǎn)體的體積時那樣選取圓柱微元呢，即為什么而不是？這得從微元法的理論依據(jù)說起。由(2)式我們知道，其中，所以的微分。的所需要的近似值就是的微分。確切的說，積分微元就是的微分，它們的差是關(guān)于的高階無窮小，這也保證了近似過程的準(zhǔn)確性。我們可以通過理論方法證明當(dāng)時，不是比高階的無窮小，而是比更高階的無窮小[2][3]。因此在計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時只能選取作為面積微元，而不是選取作為面積微元。

通過上面的分析可知，弄清楚微元法中的微元的實質(zhì)或者說理論依據(jù)對微元的正確選取起著至關(guān)重要的作用，是準(zhǔn)確寫出積分表達(dá)式的關(guān)鍵。這也要求我們從一開始便要深刻理解微分的概念，以及微分與原函數(shù)之間的關(guān)系，為以后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]何柏慶，等.高等數(shù)學(xué)(物理類，上冊).北京:科學(xué)出版社，2007.

[2]朱惠延.旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積公式的另一推導(dǎo).數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，1999，第19卷第4期:44～45.

[3]王榮乾，余小飛.正確使用微元法解決旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版)，第2期，105，2009.