滲透數學思想方法提升學生的數學素養

中圖分類號：G62文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)09-0-02

新修訂的《義務教育數學課程標準》其中有一個重要的變化，那就是將“雙基”變“四基”即原來的掌握數學基礎知識、訓練數學基本技能的基礎上，又增加了領悟數學基本思想、積累數學基本活動經驗。這一綱領性指導思想，要求我們數學教師在數學教學中，要轉變傳統的重知識重技能訓練的教學思想，更加關注學生數學思想方法的滲透，突出數學思想方法的有效教學。促進學生的健康成長，使人人獲得良好的數學素養，不同的人在數學得到不同的發展。在實際的教學中發現，很多剛升入初中的學生對數學知識掌握起來感覺非常吃力，其關鍵原因在于數學思想的方法沒有轉變過來。從小學數學的學習到初中數學的學習是一個從具體到抽象、從感性到理性的一種質的飛躍，小學學習數學的方法已經不再能適用于初中數學的學習。而數學知識的學習的關鍵在于數學的思想方法，它是建立知識的學習與應用之間的橋梁。所以，要做好中小學數學知識的銜接教育工作，就要立足于培養學生數學思想方法的教學，要在具體的教學環節中滲透一些初中數學的思想方法，以提高學生的學習能力，達到一定的學習效果。

一、數學思想方法的內容

《義務教育數學課程標準》明確指出:數學基礎知識是指數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想方法。將數學思想和方法納入基礎知識范疇，足見數學思想方法的教學問題已引起教育部門的重視，也體現了我國數學教育工作者對于數學課程發展的一種共識。培養學生的繼續學習的數學能力，提升學生的數學基本素養，養成良好的數學思維方式，滲透數學思想的教育是一個行之有效重要途徑。在長期的數學教學實踐過程中，我們發現要注意培養學生以下的數學思想方法:

1.數式通性的思想

代數是由算術演變來的，這是毫無疑問的。利用代數符號這個工具，是代數思維發展的重要元素，它使我們在用代數解決問題方面變得更加有效。它是用字母表示數的代數思想的基礎，是由具體到抽象的源頭。但是完成這個飛躍，學生要經歷一個“跌跌撞撞”的攀登過程，并且表現出顯著的個性差異。那么，學生對學習用字母表示數的目的到底是什么是否了解?在學習用字母表示數時會碰到什么樣的困難?這些問題都是教師在實際教學工作中會面臨的問題。再如利用學生熟悉的有關數的運算來學習整式的運算。根據教科書的這個編寫特點，在整式運算的教學中要強調通過類比的思想方法學習式的運算，理解數的運算性質和運算律在式的運算中仍然成立，體會“數式通性” 促使學生的學習形成正遷移。所以“數式通性”思想的滲透，對于剛接觸初中代數知識的初一學生來說，是很有必要的。

2.分類討論思想

所謂分類討論思想，就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。

學生進入初中，從引進負數的概念開始，分類的思想就逐步融進了教學工作中，并且隨著知識結構的深入而不斷加強。比如:有理數的分類、整數的分類、負數的奇偶次方、去括號法則等，都蘊含有分類的思想，對學生進行分類思想的培養，有助于學生思維的嚴謹性。

3.整體性思想

所謂“整體性思想”，就是在教學過程中，充分考慮各教學要素之間的關系和影響，把各要素加以整合，以發揮最大效能。學生進入中學，開始接觸代數式，而代數式是初中數學知識的基礎。在代數式學習過程中，整體性思想時刻伴隨，很好地簡化了解題的難度，提高了解題的效率。比如在合并同類項一節的教學中，我設計如下一個變式例題：

計算：①

②

③

④

讓學生探索，當學生得出結果后，引導學生分析問題②③④與①有怎樣的關系，學生會發現結果中每個單項式的系數是相同的，只是字母不同，聰明的同學會發現老師只不過是把①式中的、分別用不同的單項式、或多項式進行了替換，里面實際上滲透了整體思想的運用，通過師生的合作交流許多同學自己又類比編出許多道新穎的試題.通過這樣的培養，逐漸讓學生養成了整體性思想，對九年級利用“換元法”來解一元二次方程的問題也有很大的幫助。

4.化未知為已知的思想

初一的學生在小學階段已經接觸了一元方程，那時已經建立了化未知為已知的思想，通過將未知量看作已知量，由題目的具體環境，建立等式關系，解方程后求出未知量。那時學生已經能夠體會到列方程解應用題相比用算術方法要簡單很多。進入初中以后，接觸了代數式，將一些未知量看作已知量，在列方程、不等式以及解方程、不等式時非常方便，這也同時體現出了代數方法處理某些問題時，相比算術方法所具有的優越性。比如在實際解方程組的教學過程中，“消元”、“降次”等基本思想都是化“未知”為“已知”的體現。

5.數形結合的思想

數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。“數以形而直觀，形以數而入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”，這是我國數學家華羅庚對數形結合思想的精辟論述。有些代數問題單純用代數方法來解，反而顯得煩瑣，若能恰當、巧妙地借助幾何圖形，使數量關系的問題直觀而形象化，實現抽象概念與具體形象的結合。在初中數學的教學中，從數軸的引進到有理數大小的比較，從相反數、絕對值的幾何意義到列方程解應用題的畫圖分析求解等，數形結合的思想在初中數學的教學中得到了充分的體現，它將復雜的知識簡單化、抽象的概念具體化。

6.可逆性思想

我們都知道“司馬光砸缸”的故事，司馬光的聰明方法令我們佩服。按常規的救人方法是讓“人離開水”，但是由于缸高、人矮、力氣小，在場的小朋友沒有一個能夠辦得到；這時，司馬光反常規而行，砸破水缸，水流出來，讓“水離開人”，落水的小伙伴得救了。司馬光的故事使我們聯想起，初中數學教材中蘊含了為數眾多數學可逆性思想，它存在于數學知識的各個環節中，如加與減、乘與除、乘方與開方、同底數冪的運算法則正逆運用，整式的乘法與因式分解等。這些互逆的知識點結合起來學習，實際上是一種雙向活動，教學中學生往往只注重單向的聯系，而造成對知識的單一理解和應用，從而阻礙了學生思維的發展。學生在小學階段接受可逆性數學思想的教育很少，而可逆性數學思想方法有助于培養學生的逆向邏輯思維、創造能力。所以，在實際的教學過程中，要適時注意培養學生的可逆性思想。有理數的運算律、冪運算法則等等逆用都可以簡化運算，收到一項不到的效果。

7.特殊與一般的辯證關系的思想

對于一個數學問題，特殊情形下的結論往往反映了一般狀況下的特征，一般狀態下探索到的結論是問題本質和規律，特殊只是一般中的某種情況。在特殊情形下的解題思路、方法往往對一般狀況有指導和啟發作用，反之問題若能在一般狀況下得以解決，特殊情形當然也就迎刃而解。如整式可以簡潔地表明實際問題中的數量關系，它比只有具體數字表示的算式更有一般性。整式中的字母表示數，這使得關于整式的運算與數的運算具有一致性，因此可以說整式的運算是建立在數的運算基礎之上的，式的運算更具有一般性，數的運算是式的運算的特殊情形。通過對數與式運算的分析，使學生理解認識事物的過程是由特殊（具體）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具體），在不斷重復中得到提高，培養學生初步的辨證唯物主義觀點。根據數與式之間的聯系，體現數學知識間具體與抽象的內在聯系和數學的內在統一性。實際上是知識的總結與應用的雙向活動，特殊與一般的統一能使學生更靈活地掌握知識、應用知識。故在初一學生對一些問題的理解比較抽象的情況下，特殊與一般的辯證關系的運用，對初中數學的教學有著非常重要的作用。

8.歸納猜想思想

英國著名物理學家牛頓說過：“沒有大膽而放肆的猜想，就不可能有偉大發現”。數學家教育家G·波利亞也指出：“要成為一個好的數學家……你必須首先是一個好的猜想家。”這兩句至理名言道出猜想的重要性.歸納猜想的思想是數學思想的重要組成部分。在中學數學教學中，對有些已知其真實性的定理、公式、性質，暫時不能給學生進行嚴格證明，但為了說明其正確性，往往采用具體的、個別的特殊例子來說明，也就是用不完全歸納法進行推理。而猜想是數學思維中的抽象的重要形式。所謂猜想是根據部分事實去推測某種可能結果的方法，是由一些事物去估計可能出現事物的思維方法。蘇科版七、八、九年級滲透的數學猜想可謂俯首皆是，這里不再列舉案例闡述.

二、數學思想方法的培養方式

對學生數學思想方法的培養，要依托數學思想方法的教學工作。中學數學的課程內容是由具體的數學知識與數學思想方法組成的有機整體，現行數學教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數學思想方法只是蘊涵在數學知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結。這樣就產生了如何處理數學思想方法教學的問題。進行數學思想方法的教學，必須在實踐中探索規律，以構成數學思想方法教學的指導原則。數學思想方法的構建有三個階段:潛意識階段、形成階段、深化階段。

一般來說，在這三個階段的形成過程中，應以滲透性教育為主線。所謂滲透教育，是指在具體知識教學中，一般不直接點明所應用的數學思想方法，而是通過精心設計的教學情境與教學過程，著意引導學生領會蘊涵在其中的數學思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。雖然數學思想方法與具體的數學知識是一個有機整體，它們相互關聯、相互依存、協同發展，但是具體數學知識的教學并不能替代數學思想方法的教學。一般來說，數學思想方法的教學總是以具體數學知識為載體，在知識的教學過程中實現的。數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是解決數學問題、體現數學思想的手段和工具。所以，數學思想方法具有高度的抽象性與概括性。如果說數學方法尚具有某種外在形式或模式，那么作為一類數學方法的概括的數學思想，卻只表現為一種意識或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數學思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實現的，必須要日積月累、長期滲透才能逐漸為學生所掌握。

數學思想方法的滲透教育主要是在具體知識的教學過程中實現的。因此，要落實好滲透性原則，就要不斷優化教學過程(比如，概念的形成過程，公式、法則、性質、定理等結論的推導過程，解題方法的思考過程，知識的小結過程等)，只有在這些過程的教學中，數學思想方法才能充分展現它們的活力。取消或壓縮教學的思維過程，把數學教學看為知識結論的教學，就失去了滲透數學思想方法的機會，使數學思想方法無有用武之地。

數學思想方法作為數學知識的精髓，它蘊含在數學知識的整個體系之中，好的思想方法對于學生學習數學知識以及其他學科的知識是非常有用的。作為教師，在實際的教學過程中，對具體知識的教學，要通過精心設計教學情境與教學過程，采用滲透的方式有意識地引導學生領會和學習蘊含在其中的數學思想方法，使學生在掌握知識潛移默化教學過程中理解和掌握數學思想的精髓，并應用于今后的學習與工作中，為提升學生的數學素養，增強數學的思維能力，激發創新的數學潛能，使數學思想方法發揮應有的作用。