例談利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式

數(shù)列通項(xiàng)公式考查是數(shù)列部分重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法較多，如待定系數(shù)法、特征根法、迭加、迭代、迭乘、歸納猜想證明（數(shù)學(xué)歸納法），利用Sn和an之間的內(nèi)在聯(lián)系等等，下面就從常見(jiàn)的遞推關(guān)系，談?wù)勅绾斡脴?gòu)造的方法求數(shù)列通項(xiàng)公式，以便從中了解一些構(gòu)造的思路和技巧。

1、形如 型

方法一：令 整理得，比較得：

，從而數(shù)列 是以P為公比的等比數(shù)列

注：若 ，則

方法二：兩式相減得，

從而數(shù)列 為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為q，利用迭加法即可求出an

2、形如型

令 整理得

比較得 從而解出x、y，從而得數(shù)列為等比數(shù)列。

3、形如 型

方法一：由 兩邊同除以得

整理得時(shí)轉(zhuǎn)化為類(lèi)型1， 時(shí)為等差數(shù)列

方法二:令整理得 ，比較

得

從而數(shù)列 為等比數(shù)列

注:時(shí)按方法一變形即可

4、形如型

兩邊取對(duì)數(shù)得從而轉(zhuǎn)化為類(lèi)型1。

注：①兩邊取對(duì)數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)的底數(shù)可以是大于0且不等于1的任何一個(gè)常數(shù)。

②至少有一個(gè)不成立時(shí)，可用迭代法。

③形如型 ，可取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為類(lèi)型3

例5 已知：數(shù)列 滿(mǎn)足 求

解：

兩式相除得

兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

從而

注：①此處取3為底只是為了計(jì)算的方便。②本題也可直接用迭代法。

5、形如型，（其中 為常數(shù)，且 ）將

兩邊加x整理得

令①取x為方程①的任一根，于是得

若，則 故 ，從而

若，則 故取倒數(shù)得

令 從而，借助類(lèi)型1可求，從而可求。

特別地

6、形如 型

若，則兩邊取得倒數(shù)可得，借助類(lèi)型1即可求得

例： 設(shè)數(shù)列 中，且 ，求

解：由

兩邊取倒數(shù)得

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等差數(shù)列

近幾年有些省市的高考、模擬試題將以上的多種類(lèi)型進(jìn)行綜合考查，對(duì)于此類(lèi)型可以通過(guò)多次構(gòu)造完成.下面介紹兩種類(lèi)型

7、形如型或型

下面分析第一類(lèi)型

當(dāng) 時(shí)

令 可確定x，y

令則得利用類(lèi)型4可求得，進(jìn)而可求出

當(dāng) 時(shí)，直接迭加即可求得

注：第一類(lèi)型可看作是類(lèi)型3、4的合并。處理時(shí)可以先看作類(lèi)型3，再看作類(lèi)型4；或先看作類(lèi)型4，再看作類(lèi)型3；當(dāng)然也可以直接一步到位。第二類(lèi)型要注意構(gòu)造的先后順序。

由于遞推關(guān)系的復(fù)雜多變，有時(shí)也不宜構(gòu)造，甚至有些也無(wú)法構(gòu)造。因此，在此只是對(duì)幾類(lèi)特殊遞推關(guān)系如何進(jìn)行構(gòu)造作了研究，只起拋磚引玉的作用，建議，學(xué)習(xí)過(guò)程中要掌握一些典型類(lèi)型的構(gòu)造，但也不能一味地刻意追求構(gòu)造。