滲透思想 有效活動

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中抽象概括出來的，是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的催化劑。在數(shù)學(xué)活動中提煉數(shù)學(xué)思想，運用數(shù)學(xué)思想，可以讓活動的過程更扎實，讓活動的結(jié)果更有效。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；分類討論；數(shù)形結(jié)合；方程；化歸

在數(shù)學(xué)體系中，數(shù)學(xué)思想方法相對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及常用數(shù)學(xué)方法處于更高的層次，在運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及方法處理數(shù)學(xué)問題時，具有指導(dǎo)性的地位。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想有：分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想、化歸思想、優(yōu)化思想等。本文就初中數(shù)學(xué)中幾種常見的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動中的指導(dǎo)作用談一談自己的體會。

一、用分類討論思想落實局部與整體之間的相互融合

當我們面對的問題中所涉及的對象不能進行統(tǒng)一處理時，就要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，以便明確地給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果可得到整個問題的解答。

蘇科版七上《數(shù)學(xué)綜合與實踐活動》教材中有一個關(guān)于“翻杯子”的實踐活動。教材上通過閱讀材料的方式告訴我們，“翻杯子問題”可以利用+1、-1的數(shù)的乘積來解決，這里不做具體闡述。利用+1、-1的數(shù)的乘積的道理來解決“翻杯子問題”似乎大家都能明白，但對于理論上能翻的實際中又不知該如何翻動。甚至在閱讀這份材料之前我們連轉(zhuǎn)化為+1、-1的數(shù)的乘積的意識都沒有。那么擺在我們面前的主要問題就是如何有條理地翻動杯子，并且在翻動的過程中不走回頭路。下面就以杯子總數(shù)是5個，每次翻動2個為例進行探究。初始位置：①正②正③正④正⑤正。翻動一次，不妨設(shè)①反②反③正④正⑤正，這時是不需要思考的。可當?shù)诙畏瓌訒r，就比較麻煩了，究竟翻動哪兩個？這就是需要分類討論問題的典型特征，多種情況出現(xiàn)了。問題是如何分類呢？第一類：翻動兩個“反”，顯然又回到了初始位置，不可取；第二類：翻動兩個“正”，不妨設(shè)翻動③④，結(jié)果為①反②反③反④反⑤正；第三類：翻動一“反”一“正”，則與第一次翻動后的結(jié)果相同，也不可取。到此五個杯子第二次翻動經(jīng)過分類討論，我們清晰地看到結(jié)果只能為①反②反③反④反⑤正。下面進行第三次翻動，如果有了第二次翻動分類討論的經(jīng)驗，學(xué)生第三次翻動應(yīng)該是輕而易舉的。繼續(xù)分類：第一類，翻動兩個“反”與第一次結(jié)果雷同，不可取；第二類，翻動一“反”一“正”，與第二次結(jié)果相同，也不可取。由此我們得出結(jié)論，5個杯子，杯口朝上，每次翻動2個，無論翻動多少次，都不可能使得杯口全部朝下。

有了這一次翻杯子的經(jīng)歷，這個活動的目的已經(jīng)達到，相對于過程中利用分類方法落實局部與整體之間的相互融合，這個活動的結(jié)果已不重要。在翻杯子過程中，我們把研究對象按正反標準分為幾種情況，化整為零，一一解決，實際上就是“分而治之，各個擊破”的策略。

二、用數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)數(shù)與形之間的相互印證

所謂數(shù)形結(jié)合思想就是將代數(shù)與幾何問題進行互化，把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與幾何圖形的形象直觀有機地結(jié)合起來，從而充分暴露問題的條件與條件、條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，恰當?shù)刈兏鼏栴}，使問題化難為易、化繁為簡。

“從拼圖到公式”這一數(shù)學(xué)活動，其中活動一，根據(jù)拼圖寫出等式，就是一個由直觀到精確、由形到數(shù)的過程；活動二，利用拼圖的方法驗證一個乘法等式是否成立，是一個由數(shù)到形，以形驗數(shù)的過程；活動三，借助拼圖的方法對一個多項式進行因式分解，又是一個以形助數(shù)的實例。整個活動將數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的恰到好處、淋漓盡致。

三、用方程思想建立知識與知識之間的相互聯(lián)系

方程思想是指把未知量當成方程的解來處理，這是數(shù)學(xué)上一種最基本但卻非常重要的思想方法。許多數(shù)學(xué)問題當你無路可走的時候，你會發(fā)現(xiàn)那只不過是一個方程就能解決的問題。

鐘面角是數(shù)學(xué)學(xué)習中一類經(jīng)典應(yīng)用題，其中也有不少問題耐人尋味、發(fā)人深思。蘇科版七上《數(shù)學(xué)綜合與實踐活動》教材中也涉及了一個關(guān)于鐘面角的數(shù)學(xué)活動。下面就活動中的兩個問題來體會一下方程思想的妙用。

問題1：先將手表的時針與分針重合在12點，轉(zhuǎn)動手表的指針，

（1）過____分鐘，分針首次追上時針？

（2）過____分鐘，分針與時針首次成一直線？

（3）過_____分鐘，分針與時針所成的角度首次為90°？

問題2：在3點時，兩針所成的角度是90°，那么再過____分鐘，兩針所成的角第二次等于90°？

其中問題1中的三個問題解題思路完全一樣，就是將問題首先轉(zhuǎn)化為行程問題，再借助方程解決即可。（1）設(shè)x分鐘后分針首次追上時針，由題意得：6x-0.5x=360（2）（3）只要將方程中的“360”分別改成“180”和“90”，問題就迎刃而解了。

問題2：設(shè)x分鐘后兩針所成的角第二次等于90°，由題意得：6x-0.5x=180（原來兩針差90度，分針又需追上時針90度，故路程差為180度）。

恩格斯曾說，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的杠桿。這說明善于轉(zhuǎn)化問題在分析和解決數(shù)學(xué)問題過程中的重要作用。從上述幾個數(shù)學(xué)活動的例子不難發(fā)現(xiàn)，幾種常見數(shù)學(xué)思想實質(zhì)上都蘊涵著化歸思想。如分類討論是面對復(fù)雜問題所采取的針對性轉(zhuǎn)化求解策略和手段；數(shù)形結(jié)合思想正好體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；方程思想是通過建立方程來實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與解決。我們教師在平時教學(xué)過程中，只有有意識地滲透數(shù)學(xué)思想，并引導(dǎo)學(xué)生利用滲透的思想來分析和解決問題，才能有效促進數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)活動的效果，也才能讓學(xué)生學(xué)到更有用的數(shù)學(xué)。

【參考文獻】

[1]雷玲.《中學(xué)數(shù)學(xué)名師教學(xué)藝術(shù)》.華東師范大學(xué)出版社.2007.12

[2]王金戰(zhàn).《數(shù)學(xué)是怎樣學(xué)好的——魔力和方法篇》.北京大學(xué)出版社.2010.5

（作者單位：江蘇省淮陰中學(xué)）