無窮小量的比較結(jié)果分析

【摘要】本文從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，給出了兩個(gè)無窮小量比較的極限值的幾種情況，在某些場(chǎng)合下，無窮小量的比較將為極限計(jì)算提供比較簡捷的途徑。

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中， 極限是其中一個(gè)很重要的部分，在函數(shù)存在極限的各種不同情況中， 有一種很重要的情況，那就是極限為零， 從而引出了無窮小量的概念。在這里需要強(qiáng)調(diào)的是， 無窮小量是變量， 不是一個(gè)具體的數(shù)， 絕對(duì)不能與很小的數(shù)相混淆。但是， 零卻是可以作為無窮小量的唯一的數(shù)。對(duì)于無窮小量的計(jì)算， 有界函數(shù)、常數(shù)與無窮小量的乘積還是無窮小量， 有限個(gè)無窮小量的和、差、積依然是無窮小量， 那么對(duì)于兩個(gè)無窮小量之比的結(jié)果會(huì)是怎么樣呢？下面我們就專門討論一下無窮小量的比較問題。

對(duì)于等價(jià)無窮小， 它們趨向于0 的速度是“相同” 的， 因而常常可以用在求兩個(gè)無窮小量之比的極限之中， 分子及分母都可用等價(jià)無窮小量代替。但做等價(jià)無窮小量替換時(shí)，在分子或分母為和式時(shí)， 通常不能用和式中的某一項(xiàng)或若干項(xiàng)做等價(jià)無窮小量替換。若分子或分母為幾個(gè)因子的積，則可將其中某個(gè)或某些因子以等價(jià)無窮小量替換。

上題中如果錯(cuò)誤地都直接用等價(jià)無窮小量進(jìn)行替換，將會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。比如上題分子中的和式也直接用等價(jià)無窮小量進(jìn)行替換， 將得出limx→0tanx-sinxsin3x=limx→0x-xx3=0， 很顯然是錯(cuò)誤的，因此， 在用等價(jià)無窮小量做替換求極限時(shí)， 要分析清楚，什么時(shí)候可以替換， 什么時(shí)候不可以替換。

三、高階無窮小量

設(shè)α（x）和β（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞） 時(shí)的兩個(gè)無窮小量， 若它們的比的極限為零， 即limα（x）β（x）=0， 則稱α（x）是β（x）的高階無窮小量， 或稱β（x）是α（x）的低階無窮小量，記為α（x）=0（β（x））。例如：limx→0x2x=0， 所以， 當(dāng)x→0 時(shí)x2是x 的高階無窮小量， 又如limx→0x2sinx=0， 所以， 當(dāng)x→0 時(shí)x2是sinx 的高階無窮小量。若α（x）是β（x）的高階無窮小量， 則意味著α（x）比β（x）趨向于0 的速度要快得多。

四、兩個(gè)無窮小量之比極限不存在且不是無窮大并不是說任何兩個(gè)無窮小量都可以加以比較的， 例如，當(dāng)x→0 時(shí)， xsin1x和x 都是無窮小量， 但是limx→0xsin1xx=limx→0sin1x， 其值是不定的， 是在-1， 0， 1 上振蕩， 從而上式的極限不存在， 所以可以得出結(jié)論， xsin1x和x是不可以進(jìn)行比較的， 它們之間不存在同階、高階或等價(jià)的關(guān)系。通過以上的分析， 我們得出結(jié)論， 對(duì)于兩個(gè)無窮小量的比較， 不僅僅是書上介紹的三種情況， 即同階無窮小量，等價(jià)無窮小量， 高階無窮小量， 還存在另外一種可能性，那就是兩個(gè)無窮小量之比極限不存在且不是無窮大的情況，所以在解題時(shí)要充分認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)， 才能正確地把無窮小量的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中。

【參考文獻(xiàn)】

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［3］ 徐文智， 王晨.高等數(shù)學(xué)［M］.西安： 西安電子科技大學(xué)出版社， 2010.

【作者簡介】謝鳳艷（1970－）， 女， 黑龍江雙鴨山人， 工程碩士， 黑龍江煤炭職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)副教授， 主要從事數(shù)學(xué)教育。

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