從一個數學問題談變式教學的決竅

【摘要】從一道學生熟悉的問題出發，從不同角度、不同方向、不同層次談如何變式訣竅。通過變式教學，學生把知識形成整體性的認識和提高，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果，同時提高思維的綜合能力和創造能力。

【關鍵詞】變式教學

變式的實質是在設計一系列問題的過程中，根據學生的心理特征，創造認知與技能的最近發展區。數學

的變式教學是指根據學生已有的數學認知與技能，適當變更數學概念的非本質特征、數學問題的條件與結論，轉換數學問題的呈現形式，激發學生通過探索、求異的思維活動發展能力. 筆者從一道不等式的恒成立問題為例談對數學問題變式教學的一些訣竅，供大家參考。

問題:關于x的不等式ax+3a-1＞0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

分析:這是一道不等式的恒成立問題，是這幾年高考的熱點。引導學生從不同的角度思考，歸納為以下幾種解法。

解法1（構造函數法）:令f(x)=ax+3a-1，由函數的特點得，f(x)在[1，2]上要么單調遞增，要么單調遞減，或為常數。要使f(x)＞0在x∈[1，2]上恒成立，只需f(2)＞0且f(1)＞0，則a＞。

解法2（分離參數法）：不等式可化為(x+3)a＞1，因為x∈[1，2]，則a＞恒成立，又y=在[1，2]上的最大值為，則a＞。

解法3（解不等式法）：當a＞0時，x＞，要使不等式在x∈[1，2]上恒成立，只需1＞，則a＞；當a＜0時，x＜，要使不等式在x∈[1，2]上恒成立，只需2＜，則a無解。故a＞。

這是一道設計短小精悍、結構簡潔、內涵豐富的好題。 在我們的教學過程中可以引導學生從不同的模型、方向、范圍、位置、思維進行變式，強化學生的解題技能，優化學生的思維品質。

1.模型類比

題目中的不等式ax+3a-1>0是一元一次不等式的模型，高中學過的不等式還有一元二次不等式，高次不等式，對數指數不等式，三角不等式，絕對值不等式等，可從這些方面進行類比變式。

變式1關于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解法1(構造函數法）：令f(x)=x-ax+1，對a進行分類討論，求出f(x)的最小值，由f(x)>0，得到a取值范圍為a<2。

解法2（分離參數法）：不等式可化為a<，當x∈[1，2]時不等式恒成立，只需>a，又y=在x∈[1，2]時的最小值為2，故a<2。

變式2 關于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:構造函數f(x)=x-ax+1，求出f(x)在x∈[1，2]的最小值相對麻煩些，此題用分離參數法的方法比較適宜。不等式可化為a<，利用導數法求出y＝在x∈[1，2]時的最小值為1，故a<1。

變式3 關于x的不等式lnx-alnx+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:不等式中加入了對數，從題目的形式上增加了難度，但解題的思維不變，仍可用分離參數法. 不等式可化為a<(x∈[1，2])，利用復合函數的單調性求出y=在x∈[1，2]時的最小值為，又當x=1時不等式lnx-alnx+1>0顯然成立。故a<。

2.方向轉變

前面的不等式都是小于0，可引導學生進行不等號方向變式，加深學生對恒成立問題的理解及需注意地方。如變式2可以進行以下變式。

變式4 關于x的不等式x-ax+1<0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析：用分離參數法，把不等式可化為a>，要使不等式在x∈[1，2]上恒成立，只需。

變式5 關于x的不等式x-ax+1≤0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍.

解析 a≥。

3.范圍變更

前面的問題都是在x∈[1，2]這個范圍內，可引導學生對范圍進行變式，并思考解題思路的有何變化。如變式1可以進行以下變式。

變式6 關于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析 a≤2

變式7 關于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析：不等式不能直接化為a<，則應分段討論。 當0-2；故-2

變式8 關于x的不等式x-ax+1>0在R上恒成立，求a的取值范圍。

解析：由△<0得a>2或a<-2。

4.參數運動

問題所含的參數的位置不同，則考慮問題的方式不盡相同，可引導學生對參數的位置進行變式，并考慮解題的對策。如變式1又可以進行以下變式。

變式9 關于x的不等式ax-x+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:不等式可化為a>，又y=在x∈[1，2]的最大值為，故a>。

變式10關于x的不等式2x-3x+1>0在x∈[a，a+3]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:不等式的解集為{x│x>1或x<}，故a>1或a+3<，即a>1或a<-。

變式11不等式ax-x-2>0在x∈[1，2]上恒成立，求x的取值范圍。

解析:可采用參數、變量互換，把a看成變量，把x看成參數。令f(a)=xa-x-1，由f(1)=x-x-1>0，得x>或x＜。

5.思維拓展

前面的問題都是恒成立問題，可引導學生考慮它的反面或其它情況，拓展學生的邏輯思維。如變式2又可以進行以下變式。

變式12關于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上不恒成立，求a的取值范圍。

解析:利用補集思想，得a≥1

變式13存在x∈[1，2]使不等式x-ax+1>0成立，求a的取值范圍。

解析:不等式可化為a<，要存在x∈[1，2]使不等式x-ax+1>0成立，只需>a，又y=在x∈[1，2]時的最大值為，故a<。

從一道學生熟悉的問題出發，引導學生從不同角度、不同方向、不同層次如何變式，使學生掌握了變式教學的訣竅，既讓學生體驗成功變式的喜悅，又讓學生在變式中提高創新能力，使學生的知識更加系統，思維更加開闊。

【參考文獻】

[1]蘇立標：《問題變式——探究性復習前奏》，《數學教學通訊》（教師版）2009. 1

[2]虞金龍：《數學問題變式教學的案例探索》，《中學教研》（數學）2010.11

（作者單位：浙江省武義第一中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文