從一個(gè)數(shù)學(xué)問題談變式教學(xué)的決竅

【摘要】從一道學(xué)生熟悉的問題出發(fā)，從不同角度、不同方向、不同層次談如何變式訣竅。通過變式教學(xué)，學(xué)生把知識(shí)形成整體性的認(rèn)識(shí)和提高，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，同時(shí)提高思維的綜合能力和創(chuàng)造能力。

【關(guān)鍵詞】變式教學(xué)

變式的實(shí)質(zhì)是在設(shè)計(jì)一系列問題的過程中，根據(jù)學(xué)生的心理特征，創(chuàng)造認(rèn)知與技能的最近發(fā)展區(qū)。數(shù)學(xué)

的變式教學(xué)是指根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知與技能，適當(dāng)變更數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論，轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，激發(fā)學(xué)生通過探索、求異的思維活動(dòng)發(fā)展能力. 筆者從一道不等式的恒成立問題為例談對數(shù)學(xué)問題變式教學(xué)的一些訣竅，供大家參考。

問題:關(guān)于x的不等式ax+3a-1＞0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

分析:這是一道不等式的恒成立問題，是這幾年高考的熱點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考，歸納為以下幾種解法。

解法1（構(gòu)造函數(shù)法）:令f(x)=ax+3a-1，由函數(shù)的特點(diǎn)得，f(x)在[1，2]上要么單調(diào)遞增，要么單調(diào)遞減，或?yàn)槌?shù)。要使f(x)＞0在x∈[1，2]上恒成立，只需f(2)＞0且f(1)＞0，則a＞。

解法2（分離參數(shù)法）：不等式可化為(x+3)a＞1，因?yàn)閤∈[1，2]，則a＞恒成立，又y=在[1，2]上的最大值為，則a＞。

解法3（解不等式法）：當(dāng)a＞0時(shí)，x＞，要使不等式在x∈[1，2]上恒成立，只需1＞，則a＞；當(dāng)a＜0時(shí)，x＜，要使不等式在x∈[1，2]上恒成立，只需2＜，則a無解。故a＞。

這是一道設(shè)計(jì)短小精悍、結(jié)構(gòu)簡潔、內(nèi)涵豐富的好題。 在我們的教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的模型、方向、范圍、位置、思維進(jìn)行變式，強(qiáng)化學(xué)生的解題技能，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。

1.模型類比

題目中的不等式ax+3a-1>0是一元一次不等式的模型，高中學(xué)過的不等式還有一元二次不等式，高次不等式，對數(shù)指數(shù)不等式，三角不等式，絕對值不等式等，可從這些方面進(jìn)行類比變式。

變式1關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解法1(構(gòu)造函數(shù)法）：令f(x)=x-ax+1，對a進(jìn)行分類討論，求出f(x)的最小值，由f(x)>0，得到a取值范圍為a<2。

解法2（分離參數(shù)法）：不等式可化為a<，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)不等式恒成立，只需>a，又y=在x∈[1，2]時(shí)的最小值為2，故a<2。

變式2 關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-ax+1，求出f(x)在x∈[1，2]的最小值相對麻煩些，此題用分離參數(shù)法的方法比較適宜。不等式可化為a<，利用導(dǎo)數(shù)法求出y＝在x∈[1，2]時(shí)的最小值為1，故a<1。

變式3 關(guān)于x的不等式lnx-alnx+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:不等式中加入了對數(shù)，從題目的形式上增加了難度，但解題的思維不變，仍可用分離參數(shù)法. 不等式可化為a<(x∈[1，2])，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出y=在x∈[1，2]時(shí)的最小值為，又當(dāng)x=1時(shí)不等式lnx-alnx+1>0顯然成立。故a<。

2.方向轉(zhuǎn)變

前面的不等式都是小于0，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不等號(hào)方向變式，加深學(xué)生對恒成立問題的理解及需注意地方。如變式2可以進(jìn)行以下變式。

變式4 關(guān)于x的不等式x-ax+1<0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析：用分離參數(shù)法，把不等式可化為a>，要使不等式在x∈[1，2]上恒成立，只需。

變式5 關(guān)于x的不等式x-ax+1≤0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍.

解析 a≥。

3.范圍變更

前面的問題都是在x∈[1，2]這個(gè)范圍內(nèi)，可引導(dǎo)學(xué)生對范圍進(jìn)行變式，并思考解題思路的有何變化。如變式1可以進(jìn)行以下變式。

變式6 關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析 a≤2

變式7 關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析：不等式不能直接化為a<，則應(yīng)分段討論。 當(dāng)0-2；故-2

變式8 關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在R上恒成立，求a的取值范圍。

解析：由△<0得a>2或a<-2。

4.參數(shù)運(yùn)動(dòng)

問題所含的參數(shù)的位置不同，則考慮問題的方式不盡相同，可引導(dǎo)學(xué)生對參數(shù)的位置進(jìn)行變式，并考慮解題的對策。如變式1又可以進(jìn)行以下變式。

變式9 關(guān)于x的不等式ax-x+1>0在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:不等式可化為a>，又y=在x∈[1，2]的最大值為，故a>。

變式10關(guān)于x的不等式2x-3x+1>0在x∈[a，a+3]上恒成立，求a的取值范圍。

解析:不等式的解集為{x│x>1或x<}，故a>1或a+3<，即a>1或a<-。

變式11不等式ax-x-2>0在x∈[1，2]上恒成立，求x的取值范圍。

解析:可采用參數(shù)、變量互換，把a(bǔ)看成變量，把x看成參數(shù)。令f(a)=xa-x-1，由f(1)=x-x-1>0，得x>或x＜。

5.思維拓展

前面的問題都是恒成立問題，可引導(dǎo)學(xué)生考慮它的反面或其它情況，拓展學(xué)生的邏輯思維。如變式2又可以進(jìn)行以下變式。

變式12關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1，2]上不恒成立，求a的取值范圍。

解析:利用補(bǔ)集思想，得a≥1

變式13存在x∈[1，2]使不等式x-ax+1>0成立，求a的取值范圍。

解析:不等式可化為a<，要存在x∈[1，2]使不等式x-ax+1>0成立，只需>a，又y=在x∈[1，2]時(shí)的最大值為，故a<。

從一道學(xué)生熟悉的問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同方向、不同層次如何變式，使學(xué)生掌握了變式教學(xué)的訣竅，既讓學(xué)生體驗(yàn)成功變式的喜悅，又讓學(xué)生在變式中提高創(chuàng)新能力，使學(xué)生的知識(shí)更加系統(tǒng)，思維更加開闊。

【參考文獻(xiàn)】

[1]蘇立標(biāo)：《問題變式——探究性復(fù)習(xí)前奏》，《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》（教師版）2009. 1

[2]虞金龍：《數(shù)學(xué)問題變式教學(xué)的案例探索》，《中學(xué)教研》（數(shù)學(xué)）2010.11

（作者單位：浙江省武義第一中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文