【摘要】從一道學(xué)生熟悉的問題出發(fā),從不同角度、不同方向、不同層次談如何變式訣竅。通過變式教學(xué),學(xué)生把知識(shí)形成整體性的認(rèn)識(shí)和提高,從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果,同時(shí)提高思維的綜合能力和創(chuàng)造能力。
【關(guān)鍵詞】變式教學(xué)
變式的實(shí)質(zhì)是在設(shè)計(jì)一系列問題的過程中,根據(jù)學(xué)生的心理特征,創(chuàng)造認(rèn)知與技能的最近發(fā)展區(qū)。數(shù)學(xué)
的變式教學(xué)是指根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知與技能,適當(dāng)變更數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論,轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式,激發(fā)學(xué)生通過探索、求異的思維活動(dòng)發(fā)展能力. 筆者從一道不等式的恒成立問題為例談對數(shù)學(xué)問題變式教學(xué)的一些訣竅,供大家參考。
問題:關(guān)于x的不等式ax+3a-1>0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍。
分析:這是一道不等式的恒成立問題,是這幾年高考的熱點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考,歸納為以下幾種解法。
解法1(構(gòu)造函數(shù)法):令f(x)=ax+3a-1,由函數(shù)的特點(diǎn)得,f(x)在[1,2]上要么單調(diào)遞增,要么單調(diào)遞減,或?yàn)槌?shù)。要使f(x)>0在x∈[1,2]上恒成立,只需f(2)>0且f(1)>0,則a>。
解法2(分離參數(shù)法):不等式可化為(x+3)a>1,因?yàn)閤∈[1,2],則a>恒成立,又y=在[1,2]上的最大值為,則a>。
解法3(解不等式法):當(dāng)a>0時(shí),x>,要使不等式在x∈[1,2]上恒成立,只需1>,則a>;當(dāng)a<0時(shí),x<,要使不等式在x∈[1,2]上恒成立,只需2<,則a無解。故a>。
這是一道設(shè)計(jì)短小精悍、結(jié)構(gòu)簡潔、內(nèi)涵豐富的好題。 在我們的教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的模型、方向、范圍、位置、思維進(jìn)行變式,強(qiáng)化學(xué)生的解題技能,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。
1.模型類比
題目中的不等式ax+3a-1>0是一元一次不等式的模型,高中學(xué)過的不等式還有一元二次不等式,高次不等式,對數(shù)指數(shù)不等式,三角不等式,絕對值不等式等,可從這些方面進(jìn)行類比變式。
變式1關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍。
解法1(構(gòu)造函數(shù)法):令f(x)=x-ax+1,對a進(jìn)行分類討論,求出f(x)的最小值,由f(x)>0,得到a取值范圍為a<2。
解法2(分離參數(shù)法):不等式可化為a<,當(dāng)x∈[1,2]時(shí)不等式恒成立,只需>a,又y=在x∈[1,2]時(shí)的最小值為2,故a<2。
變式2 關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍。
解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-ax+1,求出f(x)在x∈[1,2]的最小值相對麻煩些,此題用分離參數(shù)法的方法比較適宜。不等式可化為a<,利用導(dǎo)數(shù)法求出y=在x∈[1,2]時(shí)的最小值為1,故a<1。
變式3 關(guān)于x的不等式lnx-alnx+1>0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍。
解析:不等式中加入了對數(shù),從題目的形式上增加了難度,但解題的思維不變,仍可用分離參數(shù)法. 不等式可化為a<(x∈[1,2]),利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出y=在x∈[1,2]時(shí)的最小值為,又當(dāng)x=1時(shí)不等式lnx-alnx+1>0顯然成立。故a<。
2.方向轉(zhuǎn)變
前面的不等式都是小于0,可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不等號(hào)方向變式,加深學(xué)生對恒成立問題的理解及需注意地方。如變式2可以進(jìn)行以下變式。
變式4 關(guān)于x的不等式x-ax+1<0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍。
解析:用分離參數(shù)法,把不等式可化為a>,要使不等式在x∈[1,2]上恒成立,只需。
變式5 關(guān)于x的不等式x-ax+1≤0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍.
解析 a≥。
3.范圍變更
前面的問題都是在x∈[1,2]這個(gè)范圍內(nèi),可引導(dǎo)學(xué)生對范圍進(jìn)行變式,并思考解題思路的有何變化。如變式1可以進(jìn)行以下變式。
變式6 關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍。
解析 a≤2
變式7 關(guān)于x的不等式x-ax+1>0在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范圍。