巧添輔助線,柳暗花明又一村

【摘要】本文通過精選的典型例題，結合題意中涉及的定義和定理闡述了在三角形中，常添的七種輔助線方法，為了方便記憶，編成順口溜，使說理題思維清晰，柳暗花明。

【關鍵詞】輔助線；順口溜；角平分線；中點；中線

人說幾何很困難，難點就在輔助線。 輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗?！?順口溜”說起來瑯瑯上口。在數學教學中，如果把知識點或輔助線的添加方法編成“順口溜”，能使學生更好打開思路，找到解決問題的途徑。下面以平面幾何中的基本圖形---三角形為例來談一談這個問題。

1.線段垂直平分線，常向兩端把線連。

在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是AB和CD的中點，EF⊥AB，那么AD=BC嗎？說說理由。

點撥：要證AD=BC，只要證所在的三角形全等，本題中出現了垂直平分線，可考慮應用垂直平分線的性質，連結FA，FB，易證△AFD≌△BFC。

2.角平分線尋性質，可向兩邊作垂線。

如圖，∠B=∠C=90。，M是BC的中點，DM平分∠ADC. 求證：AM平分∠DAB.

點撥：由DM平分∠ADC，需過M點作MN⊥AD于點N。易得MN=CM=BM，所以AM平分∠DAB。

3.角平分線加垂線，三線合一試試看。

已知：如圖，∠ABE=∠EBC，AE⊥BE，F是AC的中點。

求證：EF=1/2（BC-AB）

點撥：由條件：∠ABE=∠EBC，AE⊥BE，聯想到等腰三角形的三線合一，延長AE交BC于點G. 先證△ABE≌△GBE，再由EF為△AGC的中位線，得到EF=1/2GC=1/2 (BC-BE)= 1/2(BC-AB)

4.角平分線為軸線，翻折得到全等形。

在四邊形ABCD中，已知AB= a，AD=b，且BC=DC，對角線AC平分∠BAD，問a與b的大小符合什么條件時，有∠B+∠D=180。。請畫圖并證明你的結論。

點撥：因為角是軸對稱圖形，以角平分線為軸，將△ACD翻折到△ACE。分成兩種情況：①當a≠b時，不妨設a>b，如圖。

在AB上截取AE=AD，連結EC。

易得△ADC≌△AEC，由題意得△CBE為等腰三角形，

所以∠B+∠D=180。恒成立。

②當a=b時，所以△ADC≌△ABC

要使得∠B+∠D=180。。 則需要∠B=∠D=90。。

5.三角形中兩中點，連接則成中位線。

如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點，延長BA、NM、CD分別交于點E、F。

試說明:∠BEN=∠NFC

點撥：因為AB=CD，構造的三角形中一定要把AB和CD作為第三邊，所以連結BD，取中點K。可得MK∥AB，2MK= AB ，NK∥CD，2NK = CD，所以∠ BEN =∠KMN，∠ NFC =∠KNE，∠KMN =∠KNE即∠ BEN =∠ NFC

6.三角形中有中線，延長中線等中線。

如圖，D是△ABC中BC邊上的一點，且CD＝AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，試說明：AC=２AE的理由。

點撥：本題中只出現一個中點，且證明的線段的倍分關系，所以延長AE至F，使得EF=AE，易得：△BEF≌△DEA，再證△BAF≌△DAC所以AF=AC即AC=２AE。

在幾何證明與求解題中，涉及到的定理、概念較多，尤其是需要添加輔助線的問題，有些方法學生更不容易想到。如果老師把常用的方法給學生編成“順口溜”，結合典型例題進行點評，將會增加學生學習數學的興趣，達到事半功倍的效果。

（作者單位：蘇州藍纓學校）