如何掌握數學思想方法

摘要：數學方法是數學思想在數學認識活動中的具體反映和體現。是研究問題、解決問題的數學工具、手段、方式或程序。數學思想和方法是數學中的精髓。任何數學事實的理解，數學概念的掌握，數學理論的建立都是數學思想和方法的體現和應用。歷史表明，一個重大數學成果的取得往往是與數學思想和方法的突破分不開的。數學思想和方法寓于數學知識之中。所以在數學教學中應該把數學思想和方法的培養與數學知識的教學融為一體。不僅教給學生數學知識，即概念、性質、定理、法則、公武等結果，而且更重要的是如何得到這些知識的過程。這個過程的實質就是發現數學和運用數學，是比數學知識本身即結果更重要、更為寶貴的數學思想和方法。數學教學中始終注意的是運用的是什么數學思想和數學方法?告訴學生這種思想或方法的好處在哪里等等。

關鍵詞：數學方法；數學思想；數學內容

中圖分類號：G4

文獻標識碼：A

DOI：10.3969/J.issn.1672-0407.2011.10.013

文章編號：1672-0407(2011)10-027-06

收稿日期：2011-09-20

數學思想方法是數學的靈魂，學習數學也意味著學習相應的數學思想方法。《全日制義務教育數學課程標準》明確要求：“人人學有價值的數學，不同的人在數學上得到不同的發展，”數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使學生領悟數學的真諦，懂得數學的價值，學會數學地思考和解決問題，它能把知識的學習與培養能力、發展智辦有機地統一起來。

隨著科技的發展和人文科學的進步，對數學教職人員的教學方法、教學理念有了更進一步的要求。在數學教學方面，教師不僅要教授數學知識，更要滲透掌握數學思想方法才能將教學做得淋漓盡致。如何掌握數學思想方法成為越來越多的數學教師關注和思考的問題。

一、中學數學中的主要數學思想和方法

數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識。由于中學生認知能力和中學數學教學內容的限制，只能將部分重要的數學思想落實到數學教學過程中，而對有些數學思想不宜要求過高。

數學專家認為，在中學數學中應予以重視的數學思想主要有3個，即集合思想、化歸思想和對應思想。其理由是：(1)這三個思想幾乎包括了全部中學數學內容；(2)符合中學生的思維能力及他們的實際生活經驗，易于被他們理解和掌握；(3)在中學數學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數學問題的機會比較多；(4)掌握這些思想可以為進一步學習高等數學打下較好的基礎。

此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學數學中也不同程度地有所體現，應依據具體情況在教學中予以滲透。

數學方法是分析、處理和解決數學問題的策略，這些策略與人們的數學知識，經驗以及數學思想掌握情況密切相關。從有利于中學數學教學出發，本著數量不宜過多原則，編者認為目前應予以重視的數學方法有：數學模型法、數形結合法、變換法、函數法和類分法等。

一般講，中學數學中分析、處理和解決數學問題的活動是在數學思想指導下，運用數學方法，通過一系列數學技能操作來完成的。

(一)中學數學教學內容的層次

中學數學教學內容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數學思想和數學方法。

表層知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識。學生只有通過對教材的學習，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步地學習和領悟相關的深層知識。

深層知識蘊含于表層知識之中，是數學的精髓，它支撐和統率著表層知識。教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識，讓學生在掌握表層知識的同時，領悟到深層知識，才能使學生的表層知識達到一個質的“飛躍”，從而使數學教學超脫“題海”之苦，使其更富有朝氣和創造性。

那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數學思想、方法的教學是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強調數學思想和方法，而忽略表層知識的教學，就會使教學流于形式，成為無源之水，無本之木，學生也難以領略到深層知識的真諦。因此，數學思想方法的教學應與整個表層知識的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的深層知識，提高數學能力，形成良好的數學素質。

(二)數學思想與數學方法的關系

思想是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反復提煉和實驗，如果一再被證明為正確，就可以反復被應用到新的思維活動中，并產生新的結果，因此我們認為，思維就是那些顛撲不破，試不爽的思維產物，對于學習者來說，思維就成為他們進行思維活動的細胞和基礎。

所謂數學思維，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本身認識。首先數學思想比一般說的數學概念，具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質、更深刻；其次，數學思想、數學方法密不可分，思想是相應方法的精神實質和理論基礎，方法則是實施有關思想的技術手段，中學數學中，出現的各種數學方法，都體現著一定的數學思想，反之數學思想又來源于實現基礎知識與基本方法，又高于知識與方法，居于更高層次的地位，它指導知識與方法的運用，它能使知識向更高，更深層次發展。

由于中學數學中數學方法與數學思想的這種特殊關系，以及從數學方法論的角度來考慮既同一又有差異或沒有明確界限的數學思想和數學方，我們常籠統使用數學思想方法一詞。

(三)數學思想方法的教學模式

數學表層知識與深層知識具有相輔相成的關系，這就決定了他們在教學中的辯證統一性。

基于上述認識，我們給出數學思想方法教學的一個教學模式：

操作——掌握——領悟

對此模式作如下說明：

(1)數學思想、方法教學要求教師較好地掌握有關的深層知識，以保證在教學過程中有明確的教學目的；

(2)“操作”是指表層知識教學，即基本知識與技能的教學。“操作”是數學思想、方法教學的基礎；

(3)“掌握”是指在表層知識教學過程中，學生對表層知識的掌握。學生掌握了一定量的數學表層知識，是學生能夠接受相關深層知識的前提；

(4)“領悟”是指在教師引導下，學生對掌握的有關表層知識的認識深化，即對蘊于其中的數學思想、方法有所悟，有所體會；

(5)數學思想、方法教學是循環往復、螺旋上升的過程，往往是幾種數學思想、方法交織在一起，在教學過程中依據具體情況在一段時間內突出滲透與明確一種數學思想或方法，效果可能更好些。

(四)數學思想是自然而平和的

數學教學的核心內容是數學，教學設計是其呈現方式。內容決定形式。一堂課上得好不好，首先要看是否達到了教學目標；呈現了教學本質，是否有利于學生的數學發展。數學教師的任務，在于把數學的學術形態轉變為學生易于接受的教育形態

教育是一種認識過程，當然要服從認識論的指導，包括吸收建構主義認識論的一些長處。但是，教育有自己的特殊性，即要講究認識效率。認識論強調自主活動、自我探索、親身體驗、彼此合作，怎么認識深刻怎么說，可以不管效率，不計成本。但是，我們的基礎教育卻要在短短的12年時間里，使學生掌握人類幾千年來積累的知識和經驗的精華部分，保持必要的進度。一位哲人說過，要知道梨子的滋味，就要親口吃一吃。但是他又說，人不能事事都直接經歷、體驗，大部分知識都是間接經驗。

數學教育學研究的基本矛盾，就是如何做到既保證學生有一定的直接數學經驗，又要保持科學合理的進度，使學生能夠高效率地掌握必要的數學基礎知識和基本技能。為了做到這一點，在遵循一般教育規律的基礎上，就需要對數學內容有深刻的認識，善于揭示數學實質，那種“去數學化”的傾向是不可取的。

數學內容有其本質和非本質的區別。數學問題有本原性的，也有非本原性的。例如，方程的定義：“含有未知數的等式叫方程”，并沒有反映方程的本原思想。方程的實質是：“為了尋求未知數，在已知數和未知數之間建立起來的一種等式關系。”上述定義不甚要緊，記住它、背出來沒有多少意思，即便忘了定義，看見方程能夠認得出也就行了。但是，把握方程的實質卻是十分重要的。既要會按部就班地解方程，也要能夠建立方程的模型，找出已知數和未知數之間的等量關系。這種方程思想是本原性的，不能遺忘的。

數學中有許多問題是一些約定。例如，九九表、有理數的加減法則、負負得正、指數和根式運算規則、無理數的運算規則，等等，都是根據人類長期積累的經驗制定的法則和規則是一種約定，正如方塊字和漢語語法都是一種約定一樣。它們非常重要，人們必須牢牢記住，但卻主要用其結果，對其過程只須有一定的了解即可。至于為什么這樣約定，如此定義，其詳細的證明、本原性的考察則只有專家才能夠處理。比如，“負負得正\"，無理數加法服從交換律，可以從自然數公理出發，擴充到有理數公理、實數公理，然后加以證明。但是，為了效率，我們只用結果就是了，不必深究。

還有一些數學內容，例如正弦函數的和角公式：Sin(a+b)=Sina Cosb+Cosa Sinb，我們必須牢牢記住，熟練運用，它的本原意義在于合理地運用。至于它的證明，能夠深入理解固然好，實在不記得也沒有太大的關系。一般地，對第一象限的角作一解釋性的證明，也就可以了，畢竟證明過程本身并非本原性問題，別的地方很少使用，缺乏普遍價值。

但是，數學中還有一些問題，學生必須深入理解，觸及本質，正面投入本原性問題的探索研究中。對其結論和過程，使用的數學思想方法，都需要掌握，也需要記憶，上面提到的方程實質是一個例子。現在，再就算術平均數和復合函數單調性的問題做一些評述。

楊玉東博士等的文章，就算術平均數的形式計算和背后隱藏的實際意義進行剖析。這再次說明，算術平均數的計算只是形式。它的本原意義有兩點：一是“將它作為一組數據的代表數”，二是根據代表數進行決策。文章還指出，要將算術平均數、截尾平均數、眾數、中位數作為代表數進行綜合比較分析。特別是，不同的人群會采用不同的“代表數”，反映出他們的利益和立場會很不相同。這就是說，算術平均數概念，從形式計算、實際背景到決策選取、與其他代表數的比較分析，學生必須完整地參與全過程。該文揭示數學本質的重要性不言而喻。

讓我們再來看張景斌老師的論述。它從反面提示了學生必須弄懂“單調函數”和“復合函數”的本原意義。如果僅僅會背它們的定義、用死記硬背的程式去套，記憶容量太大。即使臨時記住了，過幾天就遺忘了。一旦面對具體問題，就不知所措。

讓我們來看看單調函數的本質。以單調上升函數為例，教師應該指出以下的基本點：

(1)隨著自變量增大，函數值也增大，畫圖一看，就明白了。

(2)這時，學生的認識還是感性的，頭腦里呈現的是總體向上的態勢，是和基本向上、大體向上差不多的認知圖像。因此，必須著重指出，數學的上升，是“天天向上”“一個都不能少”。

(3)如果函數的定義域是有限數集，那么只要把有限多個函數值依次排起來看看就行了。但是定義域是無限的情況該怎么辦?這是思考的關鍵!

(4)既然是“無限多”天的“天天向上”，那就表示任意選兩天進行比較，都得向上。定義域為無限集的情形，必須保證任意兩點的函數值都在上升，每一點都不允許塌下去，即一個也不能少。

(5)最后，得到符號表示：對任何的X1，X2∈D，當xl

以上這樣的文字和解說，在教材里是不會出現的，如果我們只是把符號的定義寫在黑板上，逐字逐句地解釋一番，要求學生記住，那就沒有揭示問題的實質，學生覺得“單調性”定義好像是從天上掉下來的一樣。一旦揭示了本原性問題，就會覺得那是很平常、很自然的思考過程。

復合函數的本原意義在于中間變量的過渡。好的例子容易說明問題的本質。例如GDP值是年份的上升函數，人的平均壽命是GDP的上升函數，于是壽命也是年份的上升函數。死亡率是GDP的下降函數。死亡率也是年份的下降函數。這里GDP是中間變量，其余類推。

數學要使用邏輯，但不等于邏輯。數學思想是自然而平和的。我們不能把活生生的數學思考變成一堆符號讓學生去死記，以至讓美麗的數學淹沒在形式化的海洋里。還是一句老話說得好，要給學生一杯水，自己得有一桶水。

(五)數學思想方法教學的心理學意義

美國心理學家布魯納認為，不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。所謂基本結構就是指“基本的、統一的觀點，或者是一般的、基本的原理。”學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的。數學思想與方法為數學學科的一般原理的重要組成部分。

下面從布魯納的基本結構學說中來看數學思想、方法教學所具有的重要意義。

第一，“懂得基本原理使得學科更容易理解”。心理學認為“由于認知結構中原有的有關觀念在包含和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習。”當學生掌握了一些數學思想、方法，再去學習相關的數學知識，就屬于下位學習了。下位學習所學知識具有足夠的穩定性，有利于牢固地固定新學習的意義。即使新知識能夠較順利地納入到學生已有的認知結構中去。學生學習了數學思想、方法就能夠更好地理解和掌握數學內容。

第二，有利于記憶。布魯納認為，除非把一件件事情放進構造得好的模型里面，否則很快就會忘記。他說，“學習基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具。”由此可見，數學思想、方法作為數學學科的一般原理，在數學學習中是至關重要的。無怪乎有人認為，對于中學生不管他們將來從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。

第三，學習基本原理有利于“原理和態度的遷移”。布魯納認為，“這種類型的遷移應該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識。”曹才翰教授也認為，“如果學生認知結構中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學習是有利的。…‘只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現遷移。”美國心理學家賈德通過實驗證明，“學習遷移的發生應有一個先決條件，就是學生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學習中。”學生學習數學思想、方法有利于實現學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以較快地提高學習質量和數學能力。

第四，強調結構和原理的學習，能夠縮挾“高級知識”和“初級知識”之間的間隙。一般地講，初等數學與高等數學的界限還是比較清楚的，特別是中學數學的許多具體內容在高等數學中不再出現了，有些術語如方程、函數等在高等數學中要賦予它們以新的涵義。而在高等數學中幾乎全部保留下來的只有中學數學思想和方法以及與其關系密切的內容，如集合、對應等。因此，數學思想、方法是聯結中學數學與高等數學的一條紅線。

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數學思想方法”。

二、函數與方程

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系人手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌、達到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題一數學問題一代數問題—方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。

函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f(x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。

函數知識涉及的知識點多、面廣，對概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變量的數學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。

三、等價轉化

等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正(如無理方程化有理方程要求驗根)，它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。

著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題”。數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。

等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說，等價轉化是將恒等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。

在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題。比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式……或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。

四、分類討論

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

(1)問題所涉及的數學概念是分類進行定義的。如Ia J的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

(2)問題中涉及的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠l兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

(3)解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a：0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥(沒有重復)；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。

五、數形結合

中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程(組)、不等式(組)、函數等；一類是關于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關于數形結合的知識，主要體現是解析幾何。

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”和“形”的矛盾的統一。華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。

數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的。

六、總結

教者的思想就是學術的靈魂。作為一名教師，如何掌握好自己的數學思想與教學理論就顯得尤為重要。扎實的理論基礎、敬業的工作理念以及對數學的熱愛是數學思想的必要條件。學生學數學不僅學的是數學知識和方法，更重要的是學習數學思想。數學思想是人腦對現實世界的空間形式和數量關系的本質的反映，是思維加工后的產物，是對數學知識的本質認識。知識的發生過程，公式、定理等的探索、發現過程，都蘊含著豐富的數學思想、數學方法、數學觀點。

數學思想和方法的思維過程必須遵循邏輯思維規律，因此需要在數學教學中引入邏輯初步知識。但目的不在于專門地、孤立地學習邏輯，而是在于使必要的邏輯初步知識成為數學教學不可缺少的一部分，作為提高數學教學在發展學生的邏輯思維方面的效果地重要輔助手段。

數學方法是數學思想在數學認識活動中的具體反映和體現，是研究問題、解決問題的數學工具、手段、方式或程序。數學思想和方法是數學中的精髓。任何數學事實的理解，數學概念的掌握，數學理論的建立都是數學思想和方法的體現和應用。歷史表明，一個重大數學成果的取得往往是與數學思想和方法的突破分不開的。數學思想和方法寓于數學知識之中。所以在數學教學中應該把數學思想和方法的培養與數學知識的教學融為一體。不僅教給學生數學知識，即概念、性質、定理、法則、公式等結果，而且更重要的是如何得到這些知識的過程。這個過程的實質就是發現數學和運用數學，是比數學知識本身即結果更重要、更為寶貴的數學思想和方法。數學教學中始終注意是運用的是什么數學思想和數學方法，告訴學生這種思想或方法的好處在哪里等等。

學生將來畢業后要從事各種職業，而數學教學要面向全體學生。使受教育者因接受數學教育而得益終生，這是數學教育的最高旨趣。為此，必須在傳授數學知識的同時，培養數學思想和數學方法，一旦學生掌握了這些思想和方法，將會受用終生，并且會在今后的學習和工作中長期發揮作用。

數學教師只有將所學的系統數學思想理論結合自身的教學優勢才能把數學教育工作做好，才能讓學生們有所學、有所悟。