一類DEA模型的應用研究

［摘要］ 評價具有模糊性，模糊數學中模糊綜合評價可以很好地表達這種狀況，但是模糊綜合評價在應用中具有一定的局限性，主要包括指標權重的分配和評價單元之間的相關性問題。DEA模型則在這兩個方面有很好的應用，可以將主觀判斷以客觀的形式進行運算，因此將二者結合起來有利于提高評價的科學性和有效性。

［關鍵詞］ 模糊綜合評價； DEA； 集成

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2011 . 20. 042

［中圖分類號］F272.5；F224 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1673 - 0194（2011）20- 0071- 03

１引言

自從１９６５年Ｚａｄｅｈ提出模糊數學以來［１］，決策評價領域就展開了多方面的應用研究，其中一個重要的研究方向就是模糊綜合評價。模糊綜合評價就是在已有經典評價的基礎上加入模糊數學的評價元素進行評價［２］。這樣做的優勢是很明顯的，因為人類所思考的問題很大一部分就是模糊的，不確定的，特別是面對復雜的定性問題時更是如此。模糊綜合評價方法在許多領域里得到應用，優勢雖然明顯［３］，但是在模糊綜合評價過程中也存在著一定的局限性，比較明顯的有以下兩點：第一，評價各因素的權重分配主要靠人的主觀判斷，而當因素較多時，給出權重的大小往往是一件困難的事［４］。第二，模糊綜合評價方法僅從被評價單元自身的角度進行評價，沒有考慮各評價單元之間的相關性，而事實上各評價單元是相關的。如果充分依據同類單元間的這種聯系，不僅可以發現被評價單元在同類單元中的相對有效性，而且還能根據同類單元提供的信息發現被評價單元的弱點，提出較差單元進一步改進的策略和辦法［５］。

另外，數據包絡分析（Data Envelopment Analysis，DEA）作為一種效率評價工具，在決策評價中也得到了大量應用，可以看出在ＤＥＡ的應用過程中，最關鍵的步驟就是輸入／輸出指標體系的確定和各決策單元在相應指標體系下的輸入輸出數據的搜集與獲得。目前已有的ＤＥＡ模型由于所涉及的指標體系是確定的，所涉及的投入產出數據是確定已知的，所以目前的模型大都是確定型的。然而許多領域的評價和決策問題都存在著大量的不確定性，對于這些領域中的決策問題，確定型的ＤＥＡ模型就存在著缺陷和不足［６］。

從以上論述可以看出，模糊綜合評價可以解決ＤＥＡ模型中的數據輸入、輸出問題，而ＤＥＡ則可以解決模糊綜合評價中評價權重的設定和評價單元的相關性問題。這是因為ＤＥＡ評價單元是不是有效是相對于其他所有決策單元而言的。特別是，它把決策單元中各輸入和輸出的權重作為變量，通過對決策單元的實際原始數據進行計算而確定，排除了人為因素，具有很強的客觀性。也就是說，該方法中各個評價對象的相對有效性是在對大量實際原始數據進行定量分析的基礎上得來的，從而避免了人為主觀確定權重的缺點。因此，本文將模糊綜合評價與數據包絡分析方法相結合，提出了基于模糊綜合評價的ＤＥＡ評價方法，并結合其在糧油加工企業油品質量評價中的應用進行了討論。

２模糊ＤＥＡ模型

如果一個評價對象相對于各因素的評價具有一定的模糊性，那么就需要運用模糊數學表達，模糊綜合評價來研究。設Ｗ ＝ ｛ｗ１，ｗ２，ｗ３，…，ｗｋ｝為評價對象集，ｋ為評價對象個數；Ｕ ＝ ｛ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ｝為為評價因素集，ｍ為評價因素個數；Ｖ ＝ ｛ｖ１，ｕ２，…，ｖｎ｝為評價等級集，ｎ為評價等級個數。

對每一個評價對象，有模糊關系矩陣Ｒ，稱為某一評價對象的評價矩陣。

Ｒ ＝ Ｒ１Ｒ２Ｒｍ = ｒ１１ｒ１２…ｒ１ｎｒ２１ｒ２２…ｒ２ｎｒｍ１ｒｍ２… ｒｍｎ，（ｉ ＝ １，２，…，ｍ； ｊ ＝ １，２，…，ｎ）

式中，ｒｉｊ為Ｕ中因素ｕｉ對應Ｖ中等級ｖｊ的隸屬關系，即從因素ｕｉ著眼被評價對象能被評為ｖｉ等級的隸屬程度，可以通過二維模糊統計法來確定，具體來說就是評委在某個等級上選擇的人數占總評委人數的比值。

對某個評價因素來說，則有一模糊關系矩陣Ｑ，稱為某一評價因素的評價矩陣。

Ｑ ＝ Ｑ１Ｑ２Ｑｍ = ｑ１１ｑ１２…ｑ１ｎｑ２１ｑ２２…ｑ２ｎｑｋ１ｑｋ２…ｑｋｎ，（ｉ ＝ １，２，…，ｋ； ｊ ＝ １，２，…，ｎ）

式中，ｑｉｊ為Ｗ中對象ｗｉ對應Ｖ中等級ｖｊ的隸屬關系，即從對象ｗｉ著眼被評價因素能被評為ｖｉ等級的隸屬程度，也可以通過二維模糊統計法來確定。

模糊ＤＥＡ方法是在ＤＥＡ方法的基礎上建立起來的。ＤＥＡ方法是根據決策單元的輸入和輸出實測數據來估計有效生產前沿面的。其中，Ｃ２Ｒ模型是ＤＥＡ最早提出也是應用最為廣泛的模型。以下采用此模型進行討論。選取需要評價的對象（針對某因素而言）或因素（針對某對象而言）作為ＤＥＡ的決策單元，以其評價矩陣的轉置矩陣作為ＤＥＡ決策單元的輸入和輸出矩陣。需要說明的是，評語的個數ｎ因具體問題及其要求不同，取值也不一定。如ｎ ＝ ３（如優秀、合格、不合格）；ｎ ＝ ４（如優、良、中、差）；ｎ ＝ ５（如優、良、中、及格、不及格）等。而且具體取哪些等級為ＤＥＡ的輸入，哪些等級為ＤＥＡ的輸出，評價結果也會有一些差異。對于一個決策單元，它有ｔ種類型的輸入以及ｓ種類型的輸出。ｔ ＋ ｓ ＝ ｎ，ｎ為評語個數，見表１。

其中，以評價對象為決策單元時ｌ ＝ ｋ；以評價因素為決策單元時ｌ ＝ ｍ；ｖ１，ｖ２，…，ｖｔ為ＤＥＡ輸入的權重；ｕ１，ｕ２，…，ｕｓ為ＤＥＡ輸出的權重。記Ｘｊ ＝ （ｘ１ｊ，ｘ２ｊ，…，ｘｉｊ）Ｔ，Ｙｊ ＝ （ｙ１ｊ，ｙ２ｊ，…，ｙｓｊ）Ｔ， ｊ ＝ １，２，…，ｌ；則可用（Ｘｊ，Ｙｊ）表示第ｊ個決策單元。相應于權系數，Ｖ ＝ （ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ）Ｔ，Ｕ ＝ （ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ）Ｔ，每一個決策單元都有相應的效率評價指數ｈｊ ＝ （ＵＴＹｊ）／（ＶＴＸｊ），總是可以適當地選取權系數Ｖ和Ｕ，使ｈｊ ≤１。

對于第ｊ０個決策單元進行效率評價，以第ｊ０個決策單元的效率指數為目標，以所有決策單元（包括第ｊ０個決策單元）的效率指數為約束，構成最優化模型。原始的Ｃ２Ｒ模型是一個分式規劃，當使用Ｃｈａｒｎｅｌ－Ｃｏｏｐｅｒ變化時，可將分式規劃為一個等價的線性規劃（ＬＰ）問題。

相應于第ｊ０（１ ≤ ｊ０ ≤ ｌ）個決策單元的線性規劃模型為：

ｍａｘ ＵＴＹｊ０ｓ．ｔ． ＶＴＸｊ － ＵＴＹｊ ≥ ０，ｊ ＝ １，２，…，ｌ ＶＴＸｊ０ ＝ １ Ｖ ≥ ０，Ｕ ≥ ０

用線性規劃的最優解來判斷決策單元ｊ０的有效性。利用上述模型評價決策單元是不是有效是相對于其他所有決策單元而言的，決策單元間的相對有效性也即決策單元的優劣。另外，還可以獲得許多其他有用的管理信息，這些信息可以找出較差單元無效的原因，并能為較差單元的改進提供策略和辦法。上面討論的是針對單因素的多對象評價和單對象的多因素評價，但是一般還要得到最終的多因素、多對象評價結果。

假如要評價ｋ個對象，即評價系統的決策單元有ｋ個。針對某個因素而言，首先統計評委對這ｋ個對象在該因素的等級比重，方法同傳統的模糊綜合評價。對某個評價對象來說，可以得到一個線性規劃模型，一共可以得到ｋ個線性規劃模型。這ｋ個線性規劃模型的最優目標函數值，即為這ｋ個評價對象在該因素上的評價結果。對ｋ個對象所有因素（假設有ｍ個），分別進行計算，按被評價者將其ｍ個結果相乘（加），其積（和）可作為對該對象的總的評價結果。

對某個對象來說，即整個評價系統的一個子系統而言。取ｍ個評價因素為該子系統的決策單元，則在評委的等級比重的基礎上，方法與上面相同，對每個因素都將對應有一個線性規劃模型，ｍ個因素將需解ｍ個線性規劃。這樣求得某對象每個因素的最優目標函數值。它刻畫了該對象在每個因素上的表現，從而可以發現某對象的優點和弱點。對所有對象（假設有ｋ個），在ｍ個因素上的表現分別進行計算，可以觀察到每個對象在所有因素上的具體表現。

由此可見，這種集成評價方法，最終不僅可以觀察到每個對象在所有因素上的具體表現，而且可以得到每個對象在所有因素上表現的總的評價結果。

３算例

假如要對多家糧油加工企業的油品質量進行綜合評價，對油品質量這個定性指標而言，選擇１０個評委，按很好、好、一般、差4個等級對被評價的糧油加工企業，在該因素上的表現做模糊綜合評價。在本算例中僅選５家糧油加工企業進行討論。表2中的數據是１０個評委在某糧油加工企業在某等級上選擇的人數，現以差、一般為ＤＥＡ的輸入，以好、很好為ＤＥＡ的輸出進行討論。

對每一個糧油加工企業（決策單元）都將得到一個線性規劃模型。對企業１而言，有ＬＰ１：

ｍａｘ７ｐ１ ＋ １ｐ２

ｓ．ｔ．２ｑ２ － ７ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０

４ｑ２ － ６ｐ１ ≥ ０

１ｑ１ ＋ ２ｑ２ － ６ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０

１ｑ１ ＋ ２ｑ２ － ７ｐ１ ≥ ０

１ｑ２ － ８ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０

２ｑ２ ＝ １

ｑ１， ｑ２， ｐ１， ｐ２ ≥ ０

同理可得其他4個企業對應的線性規劃模型。通過基于Ｅｘｅｃｌ平臺的用ＶＢＡ語言編寫的解ＤＥＡ模型的軟件計算得出5個線性規劃的最優目標函數值，結果詳見表３。

表3中ＤＭＵ代表糧油加工企業，Ｓｃｏｒｅ代表最優目標函數值，代表這5個糧油加工企業在油品質量因素上的表現。

４結論

基于模糊綜合評價方法的ＤＥＡ模型，由于應用了ＤＥＡ模型，直觀性好，避免了人為確定權重的缺點，從而增強了模糊綜合評價結果的客觀性。它不僅可以考察每個對象在多個因素上的表現，指出評價單元的優點和弱點，以便進行進一步改進和完善，而且可以把一組對象作為一個整體進行關于某個因素的評價，然后進行綜合。由于它把多個評價對象放在一起進行討論計算，所以可比性很強，評價效率很高。需要注意的是，由于ＤＥＡ方法本身的原因，要求每個決策單元都應有輸入和輸出，否則，將導致評價方法失效。解決的辦法是將評價矩陣初始化，即先把評價矩陣各元素均設為１，然后在此基礎上追加原評價矩陣，產生新的評價矩陣。可能有人認為使用線性規劃增加了原模糊綜合評價的復雜程度和計算難度，其實在計算機技術十分發達的今天，作矩陣運算、求解線性規劃是計算機的強項，由于不像原來一個一個地對對象進行評價，而是把很多對象放在一起進行計算，所以該評價方法恰恰減少了評價的工作量，提高了評價的效率。因此，本文認為基于模糊綜合評價方法的ＤＥＡ模型是一種值得推薦的更為有效的評價方法。

主要參考文獻

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