淺議數(shù)形結(jié)合的有效應(yīng)用

數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．數(shù)與形，是數(shù)學學科的表達工具和重要載體，有著本質(zhì)上的聯(lián)系．數(shù)形結(jié)合可以借助圖形的直觀表達力來解決抽象的數(shù)學問題，使尋求答案的過程更為簡潔和清楚，因此教師在日常教學中一定要讓學生理解和掌握數(shù)形結(jié)合的妙用，快速解決問題．以期達到教學目標，即“以形助教”．數(shù)形結(jié)合方法是一種數(shù)學思想方法，是根據(jù)數(shù)學問題的結(jié)論和條件之間的聯(lián)系，既揭示幾何直觀，又分析代數(shù)意義，使數(shù)量關(guān)系與直觀形象和諧、巧妙地結(jié)合在一起．且利用這種結(jié)合，找到解題思路，化繁為簡，化難為易．下面以高中數(shù)學中的典型知識為例淺析數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．

一、在集合問題中的應(yīng)用

集合問題是高中數(shù)學的基礎(chǔ)知識，體現(xiàn)了與初中數(shù)學不同的理念，且集合問題在外在表達式上和內(nèi)在關(guān)系上都有圖形意味的體現(xiàn)．在解決集合問題的時候，使用數(shù)形結(jié)合，本質(zhì)上就是要把抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為直觀的、形象的圖形問題，使學生能認識到集合間的包含、交叉等關(guān)系．在實際解題中，常用的圖形表達法有：數(shù)軸和韋恩圖．數(shù)軸常用于處理帶有模糊意義的集合問題，例如兩個或兩個以上集合包含關(guān)系的判定，會有相關(guān)的不等式運算，可將兩個或兩個以上的集合關(guān)系以數(shù)軸表示，以相應(yīng)點作為代數(shù)式的標注，這樣更容易反映出每個代數(shù)式的運算關(guān)系，可以列出不等式組來；韋恩圖常用于處理比較具體化的集合問題．

例如：利用幾何圖形的性質(zhì)解題，已知三角形的三個頂點分別為A(2，0)，B(-2，0)，C(-2，4)，求過B點且與直線AC垂直的直線方程．

解：△ABC為等腰直角三角形，AC中點交y軸于點D，D的坐標為（0，2）．所以過點D與直線AC垂直的直線方程為：y=x+4

二、在不等式問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學引入了坐標系，拓展了抽象的數(shù)學問題在圖形表達上的空間，并以函數(shù)圖象為基礎(chǔ)把數(shù)形結(jié)合推向更適用的領(lǐng)域，可以用來解決不等式、方程和基本函數(shù)問題．數(shù)形結(jié)合解決不等式和方程問題，最基本的方法是把不等式或方程兩端的式子當成函數(shù)來繪制函數(shù)圖象，之后通過坐標軸與圖象、以及圖象間的交叉等，來直觀地解決數(shù)學問題．數(shù)形結(jié)合法在解決方程組問題中能起到重要的作用，可以將復(fù)雜的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化成為直觀的純圖形觀察分析，答案變得清楚明了．數(shù)形結(jié)合方法，在復(fù)雜函數(shù)的模糊關(guān)系判定問題上尤為適用，如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等等，如解：方程sin2x=log5x，為判斷這個方程解的個數(shù)，可以在同一坐標系畫y=sin2x和y=log5x的圖象，看圖象有幾個交點，就能判斷它的解有幾個．當然，需要精確判斷時，這種方法不太適用，特別是兩個方程圖象極為相似時不宜使用．總之，較為復(fù)雜的不等式關(guān)系和函數(shù)方程運用數(shù)形結(jié)合法解決時，要求學生熟悉函數(shù)圖象，否則會出現(xiàn)誤導(dǎo)以致答案出錯．

三、在函數(shù)問題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學中，函數(shù)問題是重要的考察部分．涉及函數(shù)的題目，更離不開數(shù)形結(jié)合法：因為任何函數(shù)都有與它對應(yīng)的圖象，所以通過畫圖能夠解決初中數(shù)學中代數(shù)無法解決的問題．一般說來，函數(shù)極值問題可以借助基本不等式、數(shù)學公式等來解決；而復(fù)雜一些的函數(shù)極值問題，就需要轉(zhuǎn)化，以圖形語言展示，數(shù)形結(jié)合法可以簡化解題步驟，盡可能避免純數(shù)理的復(fù)雜計算，從直觀的圖形關(guān)系得出答案．極值問題是重要的知識點，在歷年高考中占有一定的比重，因此在處理此類問題時，要引導(dǎo)學生進行數(shù)形轉(zhuǎn)化，化繁為簡，省去大量復(fù)雜的數(shù)學運算，也可以節(jié)省時間．如，x2+y2+2x=0，那么（x-1）2+(y+1)2的最小值是多少？解題時，若以傳統(tǒng)方法求解，須確定xy的關(guān)系或取值范圍.學生在進行這種運算時，經(jīng)常顧此失彼，得出的答案常常擴大化，如果利用數(shù)形結(jié)合的方法，可將極值問題轉(zhuǎn)化成圖象關(guān)系問題，這樣通過簡單的代數(shù)運算就能得出答案了．

對于代數(shù)與幾何問題，圖象法能使有序?qū)崝?shù)組集與平面或空間一一對應(yīng)，它可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，是幾何與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的橋梁．數(shù)形結(jié)合還適用于復(fù)數(shù)、三角函數(shù)問題的求解．在復(fù)雜的立體幾何和解析幾何中，數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用更為普遍，教師在教學中，應(yīng)幫助和引導(dǎo)學生由形思數(shù)，由數(shù)思形，舉一反三，使兩者相互結(jié)合或轉(zhuǎn)化，從而快速解答數(shù)學問題．

參考文獻

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［3］陳海燕.對立統(tǒng)一、相輔相成——數(shù)形結(jié)合淺談［J］.科學教育，2010.

（責任編輯 易志毅）

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