全概率公式在相依隨機事件中的應用

【摘要】本文通過三個例子，討論了全概率公式在相依隨機事件概率計算中的應用，并以一題二解的方式對全概率公式法和一般方法做了對比.

【關鍵詞】全概率公式；窮舉；相依隨機事件

全概率公式是解決復雜事件概率的重要工具，對某些復雜問題往往有很好的效果.若一個隨機試驗序列，其前面試驗的結果直接影響后面試驗的結果，則這個試驗序列下的隨機事件是相依的.在概率論中有很多具有上述特點的隨機試驗，下面通過具體例子來討論全概率公式在相依隨機事件概率計算中的應用.

例1 甲、乙兩人比賽射擊，每射擊一次勝者得1分，在一次射擊中，甲勝的概率為p，乙勝的概率為q(p+q=1).射擊進行到有1人比對方多2分為止，多2分者獲勝，求各人獲勝的概率.

解法一（事件窮舉） 記事件A，B分別為“甲、乙獲勝”，事件Ai，Bi分別為“第i局比賽甲、乙獲勝”（i=1，2，…）.通過對比賽規則的分析，甲獲勝的情況應為“第1，3，…，2i-1局甲可勝可負，第2，4，…，2i局甲的勝負情形恰好分別與其第1，3，…，2i-1局的勝負情形相反，而第2i+1，2i+2局甲連勝”.即P(A)=P(A1A2)+［P(A1B2A3A4)+P(B1A2A3A4)］+［P(A1B2A3B4A5A6)+P(A1B2B3A4A5A6)+P(B1A2A3B4A5A6)+P(B1A2B3A4A5A6)］+…=p2+(2pq)p2+(2pq)2p2+…=

∑∞i=0p2(2pq)i=p21-2pq，同理P(B)=q21-2pq.

解法二（全概率公式） 記事件A，B分別為“甲、乙獲勝”，V1=“前兩局比賽，甲全勝”，V2=“前兩局比賽，乙全勝”，V3=“前兩局比賽，甲、乙各勝一局”.易見V1，V2，V3構成完備事件組，則由全概率公式，得P(A)=P(AV1)+P(AV2)+P(AV3)=P(V1)P(A|V1)+P(V2)P(A|V2)+P(V3)P(A|V3)=p2#8226;1+q2#8226;0+2pqP(A)，可得P(A)=p21-2pq，同理P(B)=q21-2pq.

例2 甲、乙、丙三人進行比賽，規定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環，直到有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍.每次比賽雙方取勝的概率都是12，甲、乙兩人先比，求各人得冠軍的概率.

解法一（事件窮舉） 記事件A，B，C分別為“甲、乙、丙獲得冠軍”，事件Ai，Bi，Ci分別為“第i局比賽甲、乙、丙獲勝”，則P(A)=［P(A1A2)+P(A1C2B3A4A5)+P(A1C2B3A4C5B6A7A8)+…］+［P(B1C2A3A4)+P(B1C2A3B4C5A6A7)+…］=122+125+128+…+124+127+…=514.因為甲、乙所處地位是對稱的，所以P(B)=P(A)=514，又得P(C)=1-P(A)-P(B)=27.

解法二(全概率公式) 記事件A，B，C分別為“甲、乙、丙獲得冠軍”，事件Ai，Bi，Ci分別為“第i局中甲、乙、丙獲勝”.對第一局比賽的結果而言，A1，B1構成完備事件組.由全概率公式，可得P(C)=P(A1C)+P(B1C)=P(A1)P（C|A1）+P(B1)P(C|B1）=12P（C|A1）+P（C|B1）.通過對比賽進程的分析，可以看出從第四局開始出現了類似從第二局開始的循環，因此再一次運用全概率公式：P（C|A1）=P(C2B3A4C)+P(C2B3B4C)+P(C2C3C)+P(A2C)=P(C2B3A4)#8226;P（C|C2B3A4）+P(C2B3B4)#8226;0+P(C2C3)#8226;1+P(A2)#8226;0=123P(C|A1)+122，得P(C|A1)=27.同理P（C|B1）=27，故P(C)=27，P(A)=P(B)=514.

通過上面的例子，可以看出全概率公式用在相依隨機事件概率計算中的作用，雖然運用事件窮舉法也可以解決問題，但在如下的相依隨機事件例子中，很難用一般方法考慮，而全概率公式的運用使之迎刃而解.

例3 甲、乙兩人輪流擲一顆骰子，甲先擲.每當某人擲出1點時，則交給對方擲，否則此人繼續擲.求第n次是甲擲的概率.

解 設Ai，Bi分別為“第i次由甲、乙擲”（i=1，2，…），顯然對第n-1次擲骰子的情況來說，An-1，Bn-1構成了完備事件組.由全概率公式得P(An)=P(An-1An)+P(Bn-1An)=P(An-1)P（An|An-1）+P(Bn-1)P（An|Bn-1）=56P(An-1)+16P(Bn-1)=56P(An-1)+16［1-P(An-1）］，得遞推關系P(An)-12=23P(An-1)-12，所以有P(An)-12=23n-1P(A1)-12.因為甲先擲，即P(A1)=1，所以得P(An)=121+23n-1(n≥2).

【參考文獻】

［1］李賢平，沈崇圣，陳子毅.概率論與數理統計［M］.上海：復旦大學出版社，2003.

［2］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程習題與解答［M］.北京：高等教育出版社，2005.