數學軟件Mathematica在高等數學教學中的應用

【摘要】把計算機和數學軟件引入高等數學教學中，進行多媒體教學實踐是提高教學質量的重要措施.文章主要探討數學軟件Mathematica的功能在高等數學微積分教學和圖形中的應用.

【關鍵詞】Mathematica；極限；導數；積分；圖形

一、引 言

面對高職學生，幾乎所有學生反映高等數學是抽象、運算復雜難理解的，使得學生難學老師難教.如何將復雜的運算與計算機結合，使之變得更具體容易理解，真正降低學習難度，是高校教師長期致力解決的問題.而Mathematica是美國伊利諾大學復雜系統研究中心主任、物理學、數學和計算機科學教授Stephen Wolfram負責研制的，Mathematica不僅可以進行基礎的計算，而且可以進行圖像處理，我們可以利用Mathematica的數學運算函數來計算極限、導數、不定積分和定積分，并可利用Mathematica強大的圖形處理功能繪制二維和三維函數圖形，展示了Mathematica在高等數學微積分教學和計算中的應用.

二、數學軟件Mathematica在高等數學教學中的應用

1.用Mathematica計算極限

Mathematica系統中，求極限的語言是“Limit［函數，自變量-〉數值或∞］”.

例1 某儲戶將10萬元的人民幣以活期的形式存入銀行，假設年利率為5%，如果銀行允許儲戶在一年內可任意次結算，在不計利息稅的情況下，若儲戶等間隔地結算n次，每次結算后將本息全部存入銀行，問：一年后該儲戶的本息和是多少？隨著結算次數的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？

分析 若每年計息一次，那么本利和為100000(1+0.005).

若每年計息兩次，那么本利和為1000001+0.00522.

若每年計息三次，那么本利和為1000001+0.00533.

若每年計息n次，那么本利和為1000001+0.005nn.

隨著結算次數的無限增加，即n→∞，故一年后本息共計：limn→∞1000001+0.005nn.

輸入：Limit［1000001+0.005nn，n-〉∞］.

輸出：100501.

即一年后該儲戶不會成為百萬富翁.

2. 用Mathematica計算導數

Mathematica系統中，求導數的函數為：“D［函數f［x］，自變量x］”用于求函數f［x］的一階導數；“D［函數f［x］，{自變量x，階數n}］”用于求函數f［x］的n階導數.

例2 某商店每年銷售某種商品a件，每次購進的手續費為b元，而每件的庫存費為c元，在該商品均勻銷售情況下，商店應分幾批購進商品才能使所花手續費及庫存費之和為最小？

分析 在均勻銷售情況下，商品庫存量僅需年銷售量的一半，即a2件.設總費用為y，共分x批購進，手續費為bx，每批購進的件數為ax，庫存費為ac2x，則y=bx+ac2x，令y′=b-ac2x2=0，得x=ac2b（負值舍去）.

又 y″=b-ac2x2′=acx3>0，所以x=ac2b為極小值.

輸入：Clear［x，a，b，c］；

f［x］:=b*x+a*c/(2x)

f1=D［f［x］，x］

Solve［f1==0，x］

D［f［x］，{x，2}］.

輸出：b-ac2x2

x→-ac2b，x→ac2b

acx3

3.用Mathematica計算積分

在Mathematica系統中，求不定積分的函數為“Integrate［函數f［x］自變量x］”，求定積分的函數為Integrate［函數f［x］{積分變量x，下限a，上限b}］.求函數f ［x］的不定積分和定積分也可利用操作平臺輸入成數學形式.

例3 用Mathematica求∫xarctanxdx.

輸入：Integrate［xarctan［x］，x］.

輸出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).

（或者）輸入：∫x*arctan［x］dx.

輸出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).

例4 用Mathematica求∫10x21-x2dx.

輸入：Integrate［x21-x2，{x，0，1}］.

輸出：π16.

（或者）輸入：∫10x21-x2dx.

輸出：π16.

4.用Mathematica作圖形

在Mathematica系統中，畫f在［xmin，xmax］上的圖形為“Plot［f，{x，xmin，xmax}］”，畫list的散點圖為“ListPlot［list，{n，nmin，nmax}］”，畫參數方程平面圖為“ParametricPlot［{x(t)，y(t)}，{t，tmin，tmax}］”，畫f的三維圖為“Plot3D［f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}］”，畫參數方程曲面圖為“ParametricPlot［{x(u，v)，y(u，v)}，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}］”.

例5 繪制函數x=sint，

y=2cost，

z=t2的圖形.

輸入：ParametricPlot3D［{sin［t］，2*cos［t］，t/2}，{t，0，12}］.

輸出：

例6 已知z=cos(x+y)，畫出它的圖形.

輸入：Plot3D［cos［x+y］，{x，-Pi，Pi}，{y，-Pi，Pi}］.

輸出：

三、結束語

高等數學中關于函數求導、求極限、求積分(包括不定積分和定積分)、微分方程和多元函數極值等問題構成了高等數學的基本內容，也是學生學習和計算的一個重點和難點，運用Mathematica計算機輔助教學，可培養學生學習運用數學工具進行各種工程設計和借助于計算機解決問題的興趣.

【參考文獻】

［1］彭涓，王慶嶺.數學應用與實踐［J］.北京：中國鐵道出版社.

［2］侯風波.工科高等數學［J］.沈陽：遼寧大學出版社.

［3］高職數學應用基礎［M］.長沙：湖南師范大學出版社.