非線性系統(tǒng)實(shí)用穩(wěn)定性判別的不等式方法

【摘要】將非線性系統(tǒng)以及非線性時滯系統(tǒng)化為系分量函數(shù)矩陣的形式，根據(jù)不等式性質(zhì)及單調(diào)性準(zhǔn)則，利用向量Lyapunov函數(shù)方法得到簡便的實(shí)用穩(wěn)定性條件，這些條件僅與系分量函數(shù)矩陣有關(guān)，易于直接驗(yàn)證.

【關(guān)鍵詞】實(shí)用穩(wěn)定；分量函數(shù)；Lyapunov函數(shù)；非線性系統(tǒng)

1.引 言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)方法正日益廣泛地用于各種科技領(lǐng)域，并建立了許多數(shù)學(xué)模型描述各種現(xiàn)實(shí)客體，這其中的一個中心問題就是研究動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由A.M.李雅普諾夫在哈爾克夫工作期間（1885-1902年）所創(chuàng)立的運(yùn)動穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)，后來得到迅速的發(fā)展，并涉及理論與應(yīng)用的諸多方面.而實(shí)用穩(wěn)定性理論則是現(xiàn)代運(yùn)動穩(wěn)定性理論的研究方向之一.運(yùn)動實(shí)用穩(wěn)定性理論的主要任務(wù)是研究在規(guī)定的時間區(qū)間（有限的或是無限的時間區(qū)間）內(nèi)，具有預(yù)先給定的初始估計(jì)區(qū)域與隨后估計(jì)區(qū)域的運(yùn)動.

實(shí)用穩(wěn)定性概念可以較好地解決Lyapunov穩(wěn)定概念的定性描述與實(shí)際中的定量要求不符合的矛盾.實(shí)際情況是：根據(jù)一定的需要，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)只要保持在預(yù)定的范圍就可以了.這正是實(shí)用穩(wěn)定性所要求的運(yùn)動狀態(tài).

文獻(xiàn)［3］~［5］運(yùn)用不等式性質(zhì)及單調(diào)性準(zhǔn)則，利用向量V函數(shù)方法得到線性系統(tǒng)以及線性時滯系統(tǒng)的簡便的實(shí)用穩(wěn)定性條件.本文則將這種方法推廣到一種非線性系統(tǒng)中，得到了這種非線性系統(tǒng)實(shí)用穩(wěn)定性的條件.這些條件僅與系分量函數(shù)矩陣有關(guān)，易于直接驗(yàn)證.

2.相關(guān)的符號和定義

定義1 稱以X的各分量為自變量的多元連續(xù)函數(shù)k(x1，x2，…，xn)為X的分量函數(shù)，記為k(X)；稱以X的分量函數(shù)為元素的n×n的方陣K(X)=(kij(X))n×n為分量函數(shù)矩陣.

注 常數(shù)矩陣K是分量函數(shù)矩陣的特殊情況.

定義2 如果非線性定常系統(tǒng)可表示為：

X#8226;=a11(X)x1+a12(X)x2+…+a1n(X)xn

a21(X)x1+a22(X)x2+…+a2n(X)xn

an1(X)x1+an2(X)x2+…+ann(X)xn，

其中apq(X)(p，q=1，2，…，n)為X的分量函數(shù)，且當(dāng)X=0時，apq(X)有意義，設(shè)分量函數(shù)矩陣A(X)=(aij(X))n×n，

則稱A(X)為系統(tǒng)的系分量函數(shù)矩陣，且系統(tǒng)可寫為

X#8226;=A(X)X.

（1）

以及其帶有時滯情況下的系統(tǒng)：

X#8226;=A(X)X(t)+B(X)X(t+r(t)).

（2）

其中-r≤r(t)≤0，r≥0為常數(shù).

在給出上述系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性定義前，先給出一些記號：以T(i)表示系統(tǒng)的初始時刻集合，t0≥0表示初始時刻，t0∈T(i).對給定的常量α>0以及函數(shù)β(t)>0，β(t)有界且連續(xù)可微.又β(t0)>α，記x(t，t0，)為系統(tǒng)(2)滿足初始條件x(t0+θ)=(θ)(-r≤θ≤0)的解，其中：

∈C(［-r，0］，Rn)，β(t)=max-r≤r(t)≤0β(t+r(t))，

V(t)=max-r≤r(t)≤0V(t+r(t)).

規(guī)定估計(jì)區(qū)域：

初始偏差集合：Sα={x∈Rn，|x|<α}；

容許過程偏差集合：Sβ(t)={x∈Rn，|x(t)|<β(t)}.

時間區(qū)間：T0=［t0，τ)，其中τ可以是有限數(shù)，也可以是+∞.

則系統(tǒng)的關(guān)于這些集合的實(shí)用穩(wěn)定定義如下：

定義3 如果對x0∈Sα，有x(t，t0，x0)∈Sβ(t)(t∈T)，則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于{Sα，Sβ(t)，T0，t0}實(shí)用穩(wěn)定.

定義4 如果當(dāng)(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)時，有x(t，t0，)∈Sβ(t)(t∈T0)，稱系統(tǒng)(2)關(guān)于{Sα，Sβ(t)，T0，t0}實(shí)用穩(wěn)定.

定義5 如果對t0∈T(i)，當(dāng)(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)時，有x(t，t0，)∈Sβ(t)(t∈T0)，則稱系統(tǒng)(2)關(guān)于{Sα，Sβ(t)，T(i)}實(shí)用一致穩(wěn)定.

其中α=(α1，α2，…，αn)T>0是常向量，β(t)=(β1(t)，β2(t)，…，βn(t))T>0并且有α<β(t0).這些集合分別反映了系統(tǒng)的運(yùn)動區(qū)間以及所能容許的初始干擾強(qiáng)度和過程狀態(tài)與標(biāo)稱運(yùn)動狀態(tài)的偏差范圍，在具體問題中事先給定.

3.主要結(jié)果

下面分別對兩種系統(tǒng)給出判定實(shí)用穩(wěn)定的簡明判據(jù):

3.1 非線性系統(tǒng)X#8226;=A(X)X的實(shí)用穩(wěn)定性

定理1 如果對給定(α，β(t))，滿足不等式：

β#8226;(t)>A(t)β(t)，t∈T.

其中：A(t)=maxX(t)aii(X(t))，i=j，

maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j，i，j=1，2，…，n，

則此上述系統(tǒng)關(guān)于{Sα，Sβ(t)，T，t0}實(shí)用穩(wěn)定.

證明 假設(shè)結(jié)果不成立，則必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0，t1))，

且|xS(t1)|=βS(t1).

(3)

因而，取向量函數(shù)V(k)=（v1，v2，…，vn）T，其中

vi(k)=|xi(k)|.

則由(1)，得

D-Vi(t)=sgnxi(t)#8226;x#8226;i(t)

≤|ai1(X)||x1|+|ai2(X)||x2|+…+aii(X)|xi|+…+|ain(X)||xn|

≤ai1(t)|x1|+ai2(t)|x2|+…+aii(t)|xi|+…+

ain(t)|xn}，

即D-V(t)≤A(t)V(t)，由此可得V(t1)<β(t1).

事實(shí)上，若有V(t1)=β(t1)成立，則

D-V(t1)≤A(t)V(t1)≤A(t)β(t1)

(4)

另一方面：取h>0，對于V(t1)-V(t1-h)h與β(t1)-β(t1-h)h，但V(t1)=β(t1)，V(t1-h)≤β(t1-h)，當(dāng)h→0時，有D-V(t1)>D-β(t1)，與(4)式矛盾.

故有V(t)<β(t)，t∈［t0，t1］成立.

進(jìn)而|x(t)|=V(t1)<β(t1)，從而|xS(t1)|=VS(t1)<βS(t1).

與(3)式矛盾，定理得證.

3.2 非線性時滯系統(tǒng):X#8226;=A(X)X+B(X)#8226;X(t-r(t))的實(shí)用穩(wěn)定性

定理2 如果對給定(α，β(t))，滿足不等式β#8226;(t)>A(t)β(t)+β(t)β(t)，

其中，

A(t)=maxX(t)aii(X(t))，i=j，

maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j，i，j=1，2，…，n，

B(t)=maxX(t)|bij(X(t))|，i，j=1，2，…，n，

則系統(tǒng)（2）關(guān)于{Sα，Sβ，T，t0}實(shí)用穩(wěn)定.

證明 假設(shè)結(jié)果不成立，則必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0，t1))，

且|xS(t1)|=βS(t1).

(5)

因而，取向量函數(shù)V(k)=（v1，v2，…，vn）T，其中vi(k)=|xi(k)|.證明同定理1.

4.實(shí)例驗(yàn)證

例 考慮系統(tǒng)1=-x2-1(1-x22)x1，

2=x1-1(1-x21)x2對于α=(0.1，0.1)T，β=(1，1)的實(shí)用穩(wěn)定性.

解 如定理1，我們?nèi)(t)=-21

1-2，那么，β#8226;(t)=0

0，A(t)=-21

1-21

1=-1

-1，故β#8226;(t)>A(t)β(t)，系統(tǒng)是實(shí)用穩(wěn)定的.

5.結(jié) 語

實(shí)用穩(wěn)定性是近年來剛剛興起的一門科學(xué)，但是其用處非常廣泛.因?yàn)樵趯?shí)際中同漸近穩(wěn)定相比較，人們更期望的是完全穩(wěn)定性.實(shí)用穩(wěn)定性的概念更切合實(shí)際地反映出所研究過程的本質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】

［1］阿#8226;阿#8226;瑪爾德紐克，孫振綺.實(shí)用穩(wěn)定及其應(yīng)用.科學(xué)出版社，2004.

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［3］楚天廣，王照林.小參數(shù)時變非線性系統(tǒng)的技術(shù)穩(wěn)定性.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2001，21(11)：1140-1146.

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［6］陳雪波，徐望寶，李小華.非線性系統(tǒng)零解穩(wěn)定性判定的廣義二次型方法.控制與決策，2007，22(1)：81-84.